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Several Complex Variables
L2理論, Oka多様体, 解析空間など
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複素次元3以上のコンパクトHermitian多様体で、Chernスカラー曲率の二乗積分の共形勾配流を研究する。曲率の時間積分条件から有限時刻を越える継続を、発展計量に関するLp評価から大域存在と全軌道の滑らかな収束を導く。特別な背景計量への指数収束は初期曲率の小ささを要し、一定Chernスカラー曲率だけで安定性が保証されるわけではない。
コンパクト複素多様体上の一次元ファイバーをもつ正則沈め込みの切断について、ユニタリ平坦な法束を仮定する。局所擬凸近傍の基本系が存在することと、法束の零切断近傍へ正則に線形化できることの同値を示し、境界の正則性を仮定せずにUedaのγ型の例を排除する。
Stein多様体上の特異Nakano半正値ベクトル束について、単調に減少する計量に対応するBergman空間の和集合が極限の空間で稠密になる条件を示す。一般にはexhaustionによる重みを加え、hyperconvexの場合は追加の重みを不要にする。
特異Hermitian計量の最適L²評価が幾何学的な部分正値性を導くかを調べる。(p,n)型では畳み込みによる滑らかな近似を、(n,p)型では複素部分空間への制限を用い、半連続性や連接性などの仮定の下で一様Griffiths部分正値性を得る。
完備正則ベクトル場が豊富に存在するdensity propertyを持つ滑らかなアフィン四次元多様体の族を構成する。その一部はC⁴と微分同相でありながら双正則ではなく、Tóth–Varolinの認識予想への反例を与える。Kaliman modificationとの同定とシンプレクティック不変量が、正則な柔軟性と複素構造の違いを分離する。
C∞境界を持つC³の有界擬凸領域で、Kobayashi距離とCarathéodory距離がともに不完備となる例を構成する。一方、任意次元で有限D’Angelo型を仮定すればKobayashi完備性を示す。境界の滑らかさだけでは足りず、型の条件が決定的な差を生むことを明らかにする。
全空間がKählerである滑らかな固有族と相対単純正規交叉境界について、係数が1未満の有理境界なら対数多重標準切断が局所拡張し、多重種数が不変となることを示す。さらに係数1を許す実境界と滑らかな半正の捻りに対し、随伴類の擬有効性と体積の不変性を得る。
複素Euclid空間上で行列式が1の複素Monge–Ampère方程式を満たす滑らかな多重劣調和関数は、両側から二次増大で抑えられれば二次多項式となることを示す。計量の完備性や標準二次式への精密な漸近を追加せず、零階の増大条件から剛性を得る。
コンパクトKähler多様体の特異正則葉層について、葉全体の体積の一様有界性と特異集合・separatrix集合の条件から、正規コンパクト複素解析空間への商を構成する。葉の閉包の交わりの鎖で同値関係を定めることで、特異点を含む大域的な葉空間を扱う。
純次元2以上のコンパクト被約balanced複素空間について、任意の特異点解消がbalanced多様体になることを示す。例外因子のAeppli類の独立性を用い、従来必要だった大域的コホモロジーの単射性条件を取り除く。
Gromov楕円な領域は、有理型関数の極集合を除けば境界近くでSteinとなるという有理型擬凸性を示す。Stein多様体内で閉包の内部と一致する領域では、楕円性はOka性とStein性の両立に同値となる。閉球の補集合など、Okaであっても楕円ではない領域をこの結果から得る。
区分的にC²滑らかな境界をもつ有界擬凸領域に、完備Kähler–Einstein計量で有限体積となる自由な離散群商があれば、その領域は複素単位球の直積と双正則になることを示す。凸性を仮定せず、Levi-flat境界の場合は多重円板、滑らかな擬凸境界の場合は単一の球へ結論を絞る。
可算有限次元CW複体のホモトピー型が、Oka多様体として実現できる型とちょうど一致することを示す。複素Euclid空間の開集合としての次元評価や任意の可算群の基本群としての実現に加え、代数的楕円性・コンパクトKähler性を課した場合の制約を明らかにする。Stein多様体のOka領域への正則埋込みとcofibrationの分類も扱う。
複素Euclid空間のコンパクト多項式凸集合を代数的トーラスから除いた補集合と、その対数被覆のOka性を示す。指定された正則切断を通る一次微分まで正規化された整埋込みの族を構成し、平面領域のslab crossや格子状に並ぶ閉球の補集合へ応用する。
Bergman空間が一定次数以下の多項式全体となる領域の双正則写像がアフィン写像に限られることを示す。さらに既知の非有界Reinhardt領域の間に挟まれた領域を用い、Bergman計量の正則断面曲率が2でありながら自己同型群が自明な滑らかな非Reinhardt領域を非可算個構成する。
正の線束を持つ弱擬凸Oka多様体がGromovの意味で楕円的であることを示す。局所sprayの構成をAtiyah類の消滅へ帰着し、Oka近似と重み付きL²法で大域化する一方、正値性を外すとコンパクトKähler Oka多様体でも局所支配sprayが存在しない例を与える。
可縮なStein多様体が密度性質を持ち複素Euclid空間へ固有正則埋め込みできれば、十分なEuclid因子を掛けた積がEuclid空間になることを示す。外部で発表されたexotic affine spaceの結果を仮定すると、4から8のいずれかの次元で正則消去問題への反例が従う。
閉Levi非退化CR多様体で、多数のChern単項式が同時に非零になる例を構成する。強擬凸の場合の消滅定理との比較により、一定の次元では同じ滑らかな多様体上に強擬凸CR構造が存在しないことも分かる。
滑らかな複素射影有理連結多様体、したがってFano多様体がOkaであることを示し、Schoen型Calabi–Yau三次元多様体にも例を広げる。滑らかな射影超曲面の補集合については、次数d≤n+1がOka性および正則楕円性と同値であるとする。証明は整曲線族からOka性を導く別論文の解析的判定を用いる。
複素多様体がstrongly dominableであることと、任意の始域次元でOka性を持つことの同値を示す。この判定から通常の開近傍によるOka性の局所判定を導き、真の閉解析的部分集合の補集合がOkaなら全体もOkaであることを証明する。点ごとの整写像の存在を、大域的な正則近似へ結びつける結果である。
全空間がKählerである円板上の滑らかな固有正則族について、各ファイバーの多重標準切断が全空間へ延長することを示す。全ての多重種数の不変性を導き、標準束のnef性を仮定していた従来のKähler族の結果を越えると主張する。
正規アフィン・トーリック複素解析空間上で、トーリックpsh関数の解析的乗数イデアルをNewton凸体により記述する。対数標準因子がQ-Cartierとなるトーラス不変有理境界を許し、有限個の有理型単項式による大域生成と、指数の凸体内部への所属による判定を示す。単項式イデアルの重みを引いた非pshの重みにも判定式を拡張する。
射影空間上の豊富な直線束の直和に、Griffiths正値でありながら最高Chern形式が開集合上で負となるHermitian計量を構成する。反例は階数9以上で得られ、束の数値的正値性と、指定した計量のChern–Weil形式の点ごとの正値性との違いを明らかにする。
コンパクトHermitian多様体上の複素Monge–Ampère方程式について、有界な弱解から滑らかさを得る問題を扱う。右辺が未知関数に関して減少し得る場合も、データが滑らかで背景形式の退化を避けた領域では解が滑らかになると示す。支配原理と一様評価に基づく方法であり、klt空間の正則部分や上下解による存在問題にも適用する。
複素次元2以上の有界連結擬凸領域で、境界に滑らかな強擬凸点が一つあれば、Bergman計量のextremal性・定スカラー曲率・Kähler–Einstein性が同値になる。境界全体の滑らかさを仮定せず、局所的な境界漸近と一意接続を用いて大域的な曲率剛性を導く。
相対標準束がnefなKähler族における多重標準形式の延長問題を扱う。滑らかな族では肯定解を与え、一つのファイバーの標準束がnefなら多重種数が不変であるというSiu予想を確認し、退化族にもbigness仮定の下で延長する。
正則関数芽 $f$ と凸増加関数 $\chi$ から作る多重劣調和関数 $v=\chi(\log|f|)$ の局所Sobolev正則性を完全に特徴付ける。判定は因子の最小重複度と $\chi'$, $\chi''$ の重み付き積分に帰着し、$p=1$ の端点も含む。
Guanのsharp effective strong openness theoremを複数の多重劣調和重みへ一般化する。乗数イデアル層に対するSkoda型 $L^2$ 除法定理から明示的評価を導き、$L^2$ 除法・$L^2$ 拡張・強開性の関係を整理する。
proper holomorphic submersion $p:X\to\Delta$ の全空間がKählerで、各ファイバーの標準束がnefなら、すべての多重種数 $P_m(X_t)$ が $t$ に依存しないことを証明する。最小特異性をもつ重みを全空間上に構成し、Ohsawa–Takegoshi型拡張定理によって任意の多重標準切断を延長する。
複素次元 $n$ のコンパクトKähler多様体上で、正規化Kählerポテンシャル空間のKolmogorov entropyが $\varepsilon^{-n}$ のオーダーをもつことを示す。偏極多様体のrelative-entropy sublevelとtoric部分空間についても鋭い被覆数評価を与える。
$\mathbb C^2$ における閉tubeおよび正の内半径を持つ閉annulusの積の補集合がOka多様体であることを示す。周期Hamilton輸送、Fatou–Bieberbach領域、対数被覆上のentire sprayを組み合わせ、標準実平面と標準積torusの補集合を含む未解決例を解決する。
射影多様体の有理連結性が、接束上の滑らかな一様RC正値Hermitian計量の存在と同値であることを示す。さらにこの正値性が滑らかな連結中心に沿うblow-upで保存されることを証明し、非Kähler曲面、とくにHopf曲面とKato曲面にも構成を与える。
Abel曲面上に、ampleであるが滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量を持たない階数2正則ベクトル束を構成する。曲率障害の変形不変性と安定層モジュライにおけるamplenessの開性を組み合わせ、Griffiths予想への反例を与える。
Alpögeが構成した、三つの特別fiberを除き複素二次元torusでfiber化されたコンパクト複素三次元多様体がOkaであることを示す。基礎滑らかな多様体が $S^6$ であるという別の同定を受け入れれば、六次元球面上のOka複素構造が得られる。
滑らかな射影多様体上のベクトル束のGriffiths正値性を、十分正にtwistした切断のfirst jetに関する有限次元凸条件で特徴付ける。dual obstructionを行列値正測度で記述し、有限level条件と完全な評価写像の差を示すAbel曲面上の例も与える。
半正値線束の曲率退化点では古典的Bergman核展開が破れるため、異方的rescalingに基づく局所漸近を構成する。spectral gap仮定の下で局所化と急減衰を示し、decoupledまたは準斉次modelでは完全展開を得る。
$n\ge3$ の擬凸領域が滑らかな強擬凸境界点を持つとき、定scalar曲率Bergman計量は必ずKähler–Einsteinであることを示す。Bergman不変量の境界漸近とunique continuationにより、滑らかな境界の場合まで剛性を確立する。
Stein構造の連続族に対するtameness、すなわち正則凸包のparameter上半連続性を調べる。tamenessを保つ操作を確立して新しい族を構成し、族に対するOka原理が適用できる範囲を広げる。
多重粗 $L^p$ 拡張性を持つ特異Finsler計量に対し、Bergman核型のDemailly近似を構成する。近似は双対計量へ各点かつ局所 $L^1$ で収束し、拡張性からGriffiths半正値性を導く新しい経路を与える。
正の双正則断面曲率をもつ複素次元 $n\ge3$ の完備非コンパクトKähler多様体上で、低階の複素Hessian容量の減衰から有限Monge–Ampère質量をもつLipschitz多重劣調和枯渇関数を構成する。これを重み付き正則関数と解析的Bézout評価へ接続し、高次元のYau一意化問題に向けた多重ポテンシャル論的機構を与える。
compact Kähler多様体のbig cohomology classにおけるtwisted Kähler–Einstein currentについて、二つの解がtwistを保つ正則flowで結ばれるBando–Mabuchi型一意性を証明する。Berndtssonのlog-integral凸性の等号問題を、$H^{0,1}(X)=0$ やsubgeodesicの特異性型への制限なしに解き、$\delta_\psi([\theta])>1$ の下では実際の一意性を得る。
正則ベクトル束の滑らかなHermite計量に対する$L^2$拡張指数を局所的に漸近展開し、Chern曲率が二次係数として現れることを示す。これにより拡張評価の鋭さからGriffiths正値・負値、部分正値性、平坦性を統一的に読み取れる。
強線形凸領域の多重複素Poisson核を、指定境界点に達する複素測地円板の葉層に沿う調和性から特徴づける。一方、付随する斉次複素Monge--Ampère境界値問題には単位球上でも互いに比例しない連続解が無数にあり、Green関数の場合の一意性と対照的であることを示す。
完備Kähler--Einstein多様体上の円板束にCalabi ansatzで入る完備Kähler--Einstein計量について、正則断面曲率とRiemann断面曲率を計算し負のpinchingを調べる。さらに対応する擬凸Hartogs領域のBergman計量がKähler--Einsteinとなるのは、その領域が単位球と双正則同値な場合に限ることを示す。
擬有効直線束に対するDemailly--Peternell--SchneiderのHard Lefschetz定理を、単純正規交差因子に沿う対数微分形式へ拡張する。Poincaré型計量と乗数イデアルを組み込み、接束または因子直線束の正値性仮定の下で楔積写像の全射性を証明する。
正Ricci曲率を持つコンパクトKähler多様体上で、面積を一様に抑えた正則円板を拡大し、有限面積整関数から有理曲線を解析的に構成する。各点を通る曲線の鋭い面積上界を与え、この構成を用いてFano多様体の有理連結性とHartshorne予想の標数0における証明を導く。
有理連結ファイバーを持つ滑らかな射について、開Riemann面上の連続持ち上げを正則持ち上げで近似し、離散集合上の有限jetを補間できることを示す。代数的設定では近似する持ち上げも代数的に選べ、滑らかな射影多様体について代数的Oka-1性と有理連結性が同値になる。
有界 $m$-hyperconvex領域上で指定特異性 $\psi$ を持つ相対有限energy類 $\mathcal E_{m,\psi}$ を導入し、混合Hessian積・単調収束・Bedford--Taylor型連続性を構築する。相対比較原理から一意性を得て、$m$-polar集合を荷電しない広い測度に対する複素Hessian方程式の存在一意性を示す。
$\mathbb C^2$内の複素直線と最大全実平面が非コンパクトに交わる基本配置についてStein近傍基の存在を証明する。一方で、閉複素部分多様体と閉全実部分多様体の和が常にStein近傍基を持つという一般的主張には、Hartogs型障害による反例を与える。
通常の$\partial\bar\partial$-補題を満たすコンパクト複素三次元多様体上に、数値的平坦でありながら正則接続を一つももたない階数2ベクトル束を構成する。これはKähler・Fujikiの場合に成り立つ平坦性との対応が、通常の$\partial\bar\partial$-補題だけからは従わないことを示す反例である。
Demailly–PăunによるKähler錐の数値的特徴付けを、正規性も大域的埋め込みも仮定しないコンパクト弱Kähler空間へ拡張する。さらに正規コンパクトKähler空間上のbigかつnefなBott–Chern類について、通常の非Kähler locus、弱解析的特異性で定めたlocus、null locusが一致することを示す。
同じLevi符号を持つ実超曲面間の正則写像について、標的が任意余次元の超二次曲面なら、写像はCR横断的であるか全退化することを示す。一般のLevi非退化な標的ではこの二分法に反例を与え、超二次曲面という仮定が本質的であることも明らかにする。
負曲率Kähler--Einstein多様体の退化族について、中心ファイバーが単純正規交差を持つときのBergman埋め込みの極限を決定する。極限は中心ファイバーの正規化の埋め込みだけでなく、交差層に沿う多重bubbleを含み、その形は正規交差の組合せで記述される。
特異複素空間上では、滑らかな $(1,1)$-形式を正カレントとみなす正値性と、局所埋め込みから定まる正形式としての正値性が一致しないことを示す。第4 Whitney錐による判定を与え、局所的に滑らかなポテンシャルを持つKählerカレントでありながら正形式ではない具体的なコンパクト正規射影多様体上の例を構成する。
Boucksom–Demailly–Păun–Peternellの超越的Morse不等式予想を任意のコンパクトKähler多様体上で証明する。これにより因子的Zariski分解の直交性、擬有効錐と可動錐の双対性、big錐上の体積関数の微分公式と局所 $C^{1,1}$ 正則性が一挙に従う。
コンパクトKähler多様体の有理商に対し、余接束のテンソル冪へ埋め込まれる擬有効直線束の数値次元を商の標準束で抑える。一般ファイバーの有理連結性を用いた直線束の降下と、退化因子が超越的数値次元を変えないことを結び付け、射影的場合にも新しいとされる不等式を得る。
滑らかな多重次数 $(2,2,2)$ の $(\mathbb P^1)^3$ 内超曲面がOkaであることを示し、初のOka K3曲面の例を与える。さらに任意のK3曲面の局所Kuranishi族でOka fiberが稠密 $G_\delta$ 集合をなし、Kummer周期領域にも同様の稠密性が成り立つ。
Oka性の保存と破綻を具体例で調べ、$\mathbb C^3$ から任意の閉集合 $S\subset\mathbb R^3$ を除いた補集合と、閉Hartogs三角形の補集合がOkaであることを示す。一方、連結で滑らかなOka中心に沿うblow-upがBrody体積双曲的となる反例、および代数的basic Oka propertyの反例を構成する。
滑らかな境界を持つReinhardt領域のBergman計量が完備Einstein計量なら、その領域は複素単位球と双正則であることを示す。非有界な滑らかなReinhardt領域には完備Bergman--Einstein計量が存在しないことも従う。
Hermitian計量に関するMonge--Ampère質量が全てのコンパクト複素多様体で一様有界かという問いに反例を与える。Hopf三次元多様体上で正値性を保つポテンシャル列を構成し、その総質量が無限大へ発散することを示す。
Bergman計量の局所的な共形同一視が、薄い集合を除く大域的双正則同型へ延長する条件を与える。 sourceがSteinの場合とmodel domainが十分な対称性を持つ場合を扱い、局所対称Bergman計量を持つ有界領域の特徴づけも得る。
同次元複素多様体間でBergman計量を定数倍まで保つ正則写像が、pluripolar集合を除いた双正則同型になることを示す。 Luの一意化定理を写像論的に拡張し、強擬凸領域の直積への局所等長写像にも成分ごとの剛性を得る。
実多様体の微分同相を、その Stein 複素化の正則自己同型で Whitney 位相において近似する問題を扱う。実構造と両立する density property を十分条件として、$\mathbb R^n$ の全微分同相および体積保存版を任意の $C^k$ 精度で大域的に近似する。
Hopf多様体上で、直線束の数値的非負性と半正曲率計量の存在がどこまで一致するかを調べる。Bott–Chern類とUeda類を用いて正値性錐を分類し、非対角Hopf曲面の不変楕円曲線や任意次元でnefだが半正でない例を与える。
特異Hermite計量から定まる高階の乗数部分加群層を、有限個のスカラー乗数イデアルへ還元する「有限多重劣調和Gramスカラー化」を導入する。一般の正値性を仮定せずに連接性と強開性を導き、解析的特異点の下でjumping numberとSkoda型周期性を構成する。
正規複素解析空間芽上の余次元1正則葉層について、葉の閉性と原点へ集積する葉の有限性から正則第一積分を特徴づける。曲面上の Mattei--Moussu 型定理を特異な周囲空間へ拡張し、追加仮定の下で高次元への延長と形式的第一積分からの正則第一積分の存在も導く。
コンパクト Hermitian 多様体の閉複素部分多様体上の任意の $\omega|_V$-plurisubharmonic 関数が、全空間の $\omega$-plurisubharmonic 関数へ延長できることを証明する。狭義版も成り立つため、Kähler 類の current は同じ ambient class の Kähler current の制限として実現される。
ample 線束に対する Steenbrink 消滅定理を、乗数イデアル層を組み込むことでコンパクト複素空間上の big 線束へ拡張する。特異 Hermitian 計量を適切に選び、対数的微分形式のコホモロジーが $p+q>n$ で消滅することを示し、nef and big の場合には乗数イデアルを式から除ける。
超曲面の各枝に少しずつ接するThullen型領域上のNakano半正値正則Hermitian束を、全空間上の反射的coherent解析層として拡張する。拡張に対応する切断には局所L²評価も伴う。非完備Kähler多様体上のL²解法と、高次元へ拡張する議論を組み合わせる。
特異 Hermite 計量をもつ直線束に対し、コンパクト Kähler 多様体上で大域的な Skoda $L^2$ 除法定理を証明する。曲率と可積分性の条件の下で除法の係数を明示的に評価し、乗数イデアルを用いた Siu 型除法と切断環の生成次数の有効上界を導く。
指数的に平坦な無限型境界点をもつ擬凸領域について、Bergman 核・計量・Ricci 曲率の非接線的漸近挙動を求める。その帰結として、有界とは限らない領域でも Bergman 計量は Einstein にならず、有限型を越えた Cheng–Yau 予想の証拠を与える。
正の閉カレントとDemailly--Semple塔を用いて、コンパクトKähler多様体の双曲性を測るhyperbolic indexを導入する。その正値性からKobayashi双曲性を導き、一般超曲面では次数に対して少なくとも線形に増大する有効下界を与える。
コンパクトKähler多様体上の正の $dd^c$-閉カレントに対して、Lelong数の上位集合の解析性とSiu分解を証明する。通常の閉カレントより広い対象で成立する定理であり、擬有効錐とmovable錐の双対性が重要な役割を果たす。支持集合の大きさが制限されたカレントの解析的分解や、残余成分の正値性も導く。
特異複素空間上のベクトル束に対して特異 Griffiths・Nakano 正値性を整備し、解消との対応と $L^2$ Dolbeault 理論を構築する。弱擬凸複素空間上で高次コホモロジーの Nakano–Nadel 型消滅を導く。
種数2以上のコンパクト Riemann 面上の正則球束を調べる。正則点をもつ調和切断の存在から、球束の 1-凸性と付随射影空間束内の補集合の最適な中間擬凸性を導く。
完備Kähler多様体のKähler形式を有界な1形式の外微分として表す際、原始形式の最小ノルムを双曲性の強さとして定量化する。単連結性と大域的多重劣調和消尽関数を仮定し、その勾配の境界挙動から下界を与え、有界対称領域や強擬凸領域へ応用する。
複素多様体に埋め込まれた部分多様体の近傍を、有限Galoisエタール被覆上での線形化から元の近傍へ降下できる条件を調べる。コホモロジー消滅による一意性を利用し、hyperelliptic多様体やHopf多様体の近傍の完全・垂直線形化へ応用する。
複素解析化をind-Banach代数とcategorified localeの枠組みで再構成し、過収束・正則冪級数環をBerkovich空間の解析的構造として用いる。構成した開円板・閉円板の関数環の冪等性を基礎に、properな複素代数多様体に対する抽象的GAGA型同値を得る。
種数 $g>1$ のコンパクトRiemann面から、種数が1より大きいRiemann面への非定数正則写像を同型を除いて数える。著者は写像数を種数だけで抑える新しい明示的上界を示し、従来のChamizo–Fuertes上界に対して漸近的な改良を与える。
CR特異点をもつ実解析的部分多様体の局所正則分類を、BishopとMoser--Webster以後の標準形理論から概観するサーベイである。Bishop不変量による型分け、可逆力学系への翻訳、収束・発散現象と未解決問題を結び付けて整理する。
凝縮数学とanalytic ringの形式を用いて、コンパクト複素多様体の古典的複素解析・複素幾何を代数的かつ局所的な方法で再構成する講義録である。連接コホモロジーの有限性、Serre双対、GAGA、Hirzebruch--Riemann--Rochを、解析的積分に依存しない共通の枠組みへ置く。
Stein多様体に対するDemaillyのアフィン性判定法を、Ricciポテンシャルの特異集合を許す形へ拡張する。その応用として、任意の全Grauert管が余次元1の部分集合を除けばアフィン代数多様体で覆われることを示し、Burns予想に部分的な肯定解を与える。
非有界擬凸領域の有限D'Angelo型境界点でBergman核を局所化する定理を証明する。これを用い、実解析的境界を持つ有界擬凸領域のBergman計量がEinsteinであることと、その領域が単位球に双正則であることが同値だと示し、Cheng--Yau予想をこの範囲で解決する。
次数付き線形系列のKodaira–Iitaka次元と重複度を、付随する多重劣調和包絡の非pluripolar交叉で表す。さらにsupノルム単位球の体積比と部分Bergman核について計量的・点ごとの精密化を与え、新しい数値的次元を既存の不変量と比較する。
コンパクトKähler多様体上の複素Monge–Ampère flowについて、右辺が一般のMonge–Ampère測度またはそれに支配される測度である場合の有界弱解を構成する。比較原理から一意性を導き、semi-positive big classのample locus上で正時刻sliceの局所Hölder連続性も示す。
density propertyをもつStein多様体の中に、$\mathbb C^n$または多様体自身と双正則な非Runge真部分領域を構成する二つの方法を与える。従来のbasin-of-attraction法とpush-out法が通常Runge領域を生むという制約を破る十分条件と具体例を示す。
特異計量を備えた束に値をとる微分形式へHodge理論を拡張する近年の進展を概説する。円錐・Poincaré型計量の下でのHodge分解と正則性を軸に、延長定理、局所系のコホモロジー跳躍、log Calabi–Yau変形への応用を整理する。
定義可能なBergman計量が非正の定正則断面曲率をもつStein多様体では、Bergman空間が点を分離することを示す。負曲率の場合を球からpluripolar集合を除いた空間として特徴づけ、正曲率や定スカラー曲率では点分離が壊れる反例も構成する。
特異Hermitian計量を備えた直線束について、特異複素空間上の $L^2$-Dolbeault fine resolutionと大域的 $L^2$ 評価を構成する。これをGrauert–Riemenschneider標準層と結び付け、弱擬凸空間やコンパクトMoishezon空間におけるNadel型・Kawamata–Viehweg型消滅を導く。
$q$-convex with corners函数をもつ次元$n\ge4$の複素多様体で、その上位集合から全空間への正則直線束の一意拡張を示す。函数のexhaustivenessを仮定せず、$1\le q\le n-3$の範囲で制限写像 $H^p(X,\mathcal O^*)\to H^p(Y,\mathcal O^*)$ の低次数での同型を証明する。
コンパクトKähler多様体上の数値次元1の有効nef因子について、付随する直線束の半正値性を台の近傍のunitary flat性によって特徴づける。torsion型仮定のもとでは半正値性と半豊富性が同値となり、一般の半正有効因子には曲線へのファイブレーションと補集合上のHartogs延長との二者択一が成立する。
簡約複素Lie群 $G$ が作用するStein空間から $G$-楕円多様体への写像について、正則 $G$-写像の空間から連続 $K$-写像の空間への包含が弱ホモトピー同値であることを示す。補間と近似を含むパラメータ付き同変Oka原理であり、従来の等質空間の場合を大きく拡張する。
普遍被覆上で有界な原始関数を持ち、top self-intersectionが非零な実2次コホモロジー類を許すKähler位相的双曲性を導入する。この双有理不変な条件から、非単線織性、随伴束の有効非消滅、Kähler計量のスカラー曲率への定量的制約を導く。
コンパクトKähler多様体上で相対標準束の擬有効性、葉層の代数性判定、非単線織性判定を統一的に扱う。Bergman核による計量構成とLelong数の解析を用い、射影性に頼らない相対正値性と葉層の幾何を導く。
Stein空間を大域正則関数のFréchet代数へ送る反変関手が、有限次元性を仮定せず圏同値を与えることを示す。核心は任意のStein空間から$\mathbb C^2$への、全ファイバーが有限次元となる正則写像の構成と、Stein代数準同型の自動連続性である。
特異複素空間上の多重劣調和関数について、Demailly–Lelong数を極大イデアルのlog解消上の交点数として表す予想を証明する。これにより通常のslopeとの点ごとの比較を得て、商特異点の評価と二次元ADE特異点での鋭い評価も与える。
半正値Hermite計量をもつ正則線束の単位円板束がOka多様体となる条件を、因子補集合のStein性とdensity propertyで与える。同じ単位円束の外側はKobayashi双曲的となり、射影空間、Grassmann多様体、旗多様体を含む有理等質多様体へ適用される。
コンパクト複素多様体上の nef な $(1,1)$ 類や直線束について、解析的・代数的な「半正値性」が一致するかを整理するサーベイである。滑らかな半正値代表、半豊富性、正カレント、Monge–Ampère 方程式を結ぶ既知の結果と未解決問題を示し、nef が文字どおりの半正値性を必ずしも意味しない点を明確にする。
閉meromorphic 1形式とそれが定める余次元1葉層を統一的に解説し、留数・平坦meromorphic接続から指数定理、separatrix、特異点解消を捉え直す。新規成果として三次元射影多様体上のsemi-global separatrixの代数性判定、Kähler曲面上の自明な法束をもつ因子の二者択一、数値的自明な法束をもつ超曲面のStein補集合に対する次元制約を与える。
GromovのKähler双曲性をbigかつnefな類へ弱め、なお一般型性と整曲線の代数的退化が従うことを示す。適切な修正上の $L^2$ スペクトルギャップを核として、Kähler双曲多様体の特異部分多様体までLang予想型の結論を拡張する。
捩れ多重標準束の直像に対する曲率の劣調和的正値性を確立し、安定な対称冪をもつChern類零の正則葉層の葉が代数的になる条件を与える。直像の行列式の曲率評価が、葉層のtautological束とHermitian flatnessの二者択一を導く。
普遍被覆が有界な強多重劣調和関数をもつコンパクトKähler多様体について、Kobayashi双曲性、標準束の豊富性、全ての部分多様体の一般型性を示す。特に有界領域の自由コンパクト商に対するLang予想を確認する。
Kähler類から定まる余接束型のアフィン束を標準複素拡張として調べ、そのStein性・アフィン性を接束の正値性と結び付ける。非負正則双断面曲率の場合のStein性、適合複素構造との対応、アフィン性から接束のbig性が従うことを示す。