多変数複素解析 · 2026-09-25

Metric entropy of Kähler potentials

Kählerポテンシャル空間のmetric entropy

Tomoyuki Hisamoto

tomoyuki-hisamoto-15o1dnw pluripotential-theory Pluripotential theory 多重ポテンシャル論

arXiv Abstract

We prove sharp metric entropy estimates for spaces of Kähler potentials. In complex dimension $n$, normalized potentials have Kolmogorov entropy of order $\e^{-n}$ in the background $L^1$ metric. On a polarized manifold, a relative-entropy sublevel has the same order in the Mabuchi--Darvas $d_1$ metric, including its full finite-energy closure. The upper bound is $C_X(1+B)^{n+1}\e^{-n}$ for entropy budget $B$. For toric potentials, the sharp exponent is $n/2$.

日本語要約

Kählerポテンシャル空間の被覆数を定量化し、複素次元 $n$ では背景 $L^1$ 距離に関するKolmogorov entropyが $\varepsilon^{-n}$ のオーダーであることを示す。偏極多様体上のrelative entropyが有界な有限エネルギーポテンシャルにも同じ指数の上界を与え、toricの場合には鋭い指数が $n/2$ となる。

We prove sharp metric entropy estimates for spaces of Kähler potentials. In complex dimension $n$, normalized potentials have Kolmogorov entropy of order $\e^{-n}$ in the background $L^1$ metric. On a polarized manifold, a relative-entropy sublevel has the same order in the Mabuchi--Darvas $d_1$ metric, including its full finite-energy closure. The upper bound is $C_X(1+B)^{n+1}\e^{-n}$ for entropy budget $B$. For toric potentials, the sharp exponent is $n/2$.

複素次元 $n$ のコンパクトKähler多様体上で、正規化Kählerポテンシャル空間のKolmogorov entropyが $\varepsilon^{-n}$ のオーダーをもつことを示す。偏極多様体のrelative-entropy sublevelとtoric部分空間についても鋭い被覆数評価を与える。

arXiv
2609.29002v1
初回投稿日
2026-09-24
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

Kählerポテンシャルのコンパクト性を、半径 $\varepsilon$ の球が何個必要かというmetric entropyで定量化する。複素次元 $n$ が被覆数の指数を直接支配する。

背景 $L^1$ 距離では正規化された全ポテンシャル空間のKolmogorov entropyが上下とも $\varepsilon^{-n}$ となる。偏極多様体ではrelative entropy budget $B$ の部分集合をMabuchi–Darvas距離 $d_1$ で覆う数にも明示的上界を得る。

toric対称性の下ではLegendre変換により凸関数の問題へ移り、鋭い指数が $n/2$ に改善する。

背景と問題設定

有限エネルギーKählerポテンシャルのentropy sublevelは定性的にはコンパクトである。本論文はこの事実をcovering numberの増大率として精密化する。

主結果

$L^1$ metric entropy（Theorem 1.1）

ある正定数 $c_X,C_X,\varepsilon_X$ が存在し、$0<\varepsilon<\varepsilon_X$ で $$c_X\varepsilon^{-n}\leq H_\varepsilon(\mathcal H_\omega,d_{L^1})\leq C_X\varepsilon^{-n}$$ が成り立つ。

finite-energy entropy sublevel（Theorem 1.2）

偏極多様体ではrelative entropyが $B$ 以下の閉包 $K_B$ に対し $$H_\varepsilon(K_B,d_1)\leq C_X(1+B)^{n+1}\varepsilon^{-n}$$ を得る。

toricの場合（Theorem 1.3）

Introductionでは概略として、toricポテンシャルに対する鋭いmetric entropy指数は $n/2$ であると述べられている。

証明の見取り図

多重スケール近似で $L^1$ 上下界を作り、Bergman近似と有限次元行列空間の被覆を組み合わせて $d_1$ 上界を得る。toricの場合はLegendre対応による $d_1$–$L^1$ 等長性を使う。

原論文との対応