多変数複素解析 · 2026-10-01

Characterization of Sobolev regularity of plurisubharmonic functions

多重劣調和関数のSobolev正則性の特徴付け

Hongrong Chen, Guokuan Shao, Wenxuan Wang

hongrong-chen-svfv9 guokuan-shao-16kaqeg wenxuan-wang-w48ms4 pluripotential-theory monge-ampere-equations Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

Let $f$ be a nonzero holomorphic germ at $0 \in \mathbb C^n$ with $f(0)=0$, and let $\chi$ be a $C^2$ non-decreasing convex function on the left half-line. We establish sharp necessary and sufficient conditions for the local Sobolev regularity of the plurisubharmonic function $v=\chi(\log|f|).$ The criteria for the $L^p$-integrability of the classical Laplacian and for $W^{1,p}$-regularity are given by a weighted integral involving $\chi''$ and $\chi'$, respectively, and depend on $f$ only through the smallest multiplicity of $\operatorname{Div}(f)$. We also obtain the $W^{2,p}_{\mathrm{loc}}$ criterion for $1<p<\infty$. At the endpoint $p=1$, we prove that \[ v\in W^{2,1}_{\mathrm{loc}} \quad\Longleftrightarrow\quad \chi'\in L^1((-\infty,A)), \] equivalently, $v$ is locally bounded. As applications, we obtain counterexamples to Calder\'on-Zygmund theory and characterize a class of functions in the local Monge--Amp\`ere domain. % and exhibit a natural family in $W^{2,1}_{\mathrm{loc}}$ whose limit fails to belong to $W^{2,1}_{\mathrm{loc}}$.

日本語要約

正則関数芽 $f$ と凸増加関数 $\chi$ から作る多重劣調和関数 $v=\chi(\log|f|)$ の局所Sobolev正則性を完全に特徴付ける。判定は因子の最小重複度と $\chi'$, $\chi''$ の重み付き積分に帰着し、$p=1$ の端点も含む。

Let $f$ be a nonzero holomorphic germ at $0 \in \mathbb C^n$ with $f(0)=0$, and let $\chi$ be a $C^2$ non-decreasing convex function on the left half-line. We establish sharp necessary and sufficient conditions for the local Sobolev regularity of the plurisubharmonic function $v=\chi(\log|f|).$ The criteria for the $L^p$-integrability of the classical Laplacian and for $W^{1,p}$-regularity are given by a weighted integral involving $\chi''$ and $\chi'$, respectively, and depend on $f$ only through the smallest multiplicity of $\operatorname{Div}(f)$. We also obtain the $W^{2,p}_{\mathrm{loc}}$ criterion for $1<p<\infty$. At the endpoint $p=1$, we prove that \[ v\in W^{2,1}_{\mathrm{loc}} \quad\Longleftrightarrow\quad \chi'\in L^1((-\infty,A)), \] equivalently, $v$ is locally bounded. As applications, we obtain counterexamples to Calder\'on-Zygmund theory and characterize a class of functions in the local Monge--Amp\`ere domain. % and exhibit a natural family in $W^{2,1}_{\mathrm{loc}}$ whose limit fails to belong to $W^{2,1}_{\mathrm{loc}}$.

正則関数芽 $f$ と凸増加関数 $\chi$ から作る多重劣調和関数 $v=\chi(\log|f|)$ の局所Sobolev正則性を完全に特徴付ける。判定は因子の最小重複度と $\chi'$, $\chi''$ の重み付き積分に帰着し、$p=1$ の端点も含む。

arXiv
2609.39136v1
初回投稿日
2026-09-30
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

$f$を$0\in\mathbb C^n$で消える非零正則関数芽、$\chi$を左半直線上の$C^2$凸増加関数とし、$v=\chi(\log|f|)$を考える。本論文は$v$のLaplacianの$L^p$可積分性、$W^{1,p}$および$W^{2,p}$正則性を必要十分条件で特徴付ける。

条件が$f$の詳細な特異点型ではなく、$\operatorname{Div}(f)$の最小重複度だけに依存する点が特徴である。端点$p=1$では二階Sobolev正則性が局所有界性と同値になる。

背景と問題設定

対数特異性を凸関数で弱めたpsh関数はpluripotential theoryの自然な模型である。一方、古典的Calderón–Zygmund評価はこの特異な複素解析的状況でそのまま働かない。

主結果

一階正則性とLaplacian（Theorem 1.1）

$1\le p<\infty$について、$\Delta v\in L^p_{\mathrm{loc}}$および$v\in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}$を、それぞれ$\chi''$と$\chi'$の重み付き一変数積分の収束で特徴付ける。重みの指数には因子の最小重複度が現れる。

二階正則性（Theorems 1.2, 1.3）

$1<p<\infty$では$W^{2,p}_{\mathrm{loc}}$の必要十分条件を与える。$p=1$では

$$ v\in W^{2,1}_{\mathrm{loc}}\quad\Longleftrightarrow\quad \chi'\in L^1(( -\infty,A)) $$

であり、これは$v$の局所有界性とも同値である。

応用（Theorem 1.5）

得られた判定からCalderón–Zygmund型含意への反例を構成し、局所Monge–Ampère domainに属するこの形の関数を特徴付ける。

証明の見取り図

log resolutionにより$f$の零因子をnormal crossingsへ変換し、微分の可積分性を極座標型の一変数積分へ還元する。最悪の成分が最小重複度だけを残し、sharpな必要十分条件を与える。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.39136
  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1–1.5
  • 論文構成の説明: Introduction末尾
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction