多変数複素解析 · 2026-09-18

A note on Lang's conjecture for quotients of bounded domains

有界領域の商に対するLang予想

Sébastien Boucksom, Simone Diverio

sebastien-boucksom-1q2mfmq simone-diverio-140xeoc hyperbolicity fundamental-groups positivity Positivity 正値性 Hyperbolicity 双曲性 Fundamental groups 基本群

arXiv Abstract

It was conjectured by Lang that a complex projective manifold is Kobayashi hyperbolic if and only if it is of general type together with all of its subvarieties. We verify this conjecture for projective manifolds whose universal cover carries a bounded, strictly plurisubharmonic function. This includes in particular compact free quotients of bounded domains.

日本語要約

有界な強多重劣調和関数をもつétale被覆を備えたコンパクトKähler多様体がKobayashi双曲的で標準偏極され、全ての部分多様体が一般型であることを示す。有界領域の自由コンパクト商に対するLang予想が従う。

It was conjectured by Lang that a complex projective manifold is Kobayashi hyperbolic if and only if it is of general type together with all of its subvarieties. We verify this conjecture for projective manifolds whose universal cover carries a bounded, strictly plurisubharmonic function. This includes in particular compact free quotients of bounded domains.

普遍被覆が有界な強多重劣調和関数をもつコンパクトKähler多様体について、Kobayashi双曲性、標準束の豊富性、全ての部分多様体の一般型性を示す。特に有界領域の自由コンパクト商に対するLang予想を確認する。

arXiv
1809.02398v3
初回投稿日
2018-09-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

Lang予想は、射影多様体のKobayashi双曲性を、その多様体と全部分多様体が一般型であることと結び付ける。本論文は有界領域のコンパクト自由商を含む広いクラスでこの予想を確認する。

普遍被覆上の有界な強多重劣調和関数が、整曲線を排除すると同時にBergman計量を非退化にする。これにより標準束の正値性と部分多様体の一般型性が得られる。

背景と問題設定

複素多様体 $M$ がbounded typeであるとは、有界な強多重劣調和関数をもつことをいう。この条件はétale被覆や部分多様体への移行に安定である。

主結果

bounded type被覆（Theorem A）

コンパクトKähler多様体 $X$ がbounded typeのGalois étale被覆 $\widetilde X\to X$ をもつとする。このとき $X$ はKobayashi双曲的で、基本群はlargeであり、射影的かつ標準偏極される。さらに $X$ の全ての部分多様体は一般型である。

一点で強い場合（Theorem B）

普遍被覆上の有界psh関数が一点で強pshなら、$X$ は一般型である。さらに適切な閉真部分集合の外では部分多様体の一般型性とKobayashi双曲性が成り立つ。

証明の見取り図

持ち上げた部分多様体の特異点解消上でHörmander--Andreotti--Vesentini--Demailly型 $L^2$ 評価を使い、Bergman計量の一般点非退化性を示す。これを標準束上の正曲率特異計量として降ろし、標準束のbignessを導く。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1809.02398
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v3
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction