多変数複素解析 · 2026-09-25

Weak Solutions to the complex Monge-Ampère flows on compact Kähler manifolds : general measures on the right-hand side

一般測度を右辺にもつコンパクトKähler多様体上の複素Monge–Ampère flowの弱解

Bowoo Kang

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arXiv Abstract

We show the existence of a bounded solution to the Cauchy problem for the complex Monge-Ampère flow on a compact Kähler manifold, with the right-hand side of the form $dt \wedge dμ$ where $dμ$ is either a Monge-Ampère measure with a bounded potential or dominated by a Monge-Ampère measure with a Hölder continuous potential. For the second case, we also prove that for a given semi-positive big from $θ$, the $t$-slice of the solution is locally Hölder continuous on $\rm{Amp(θ)}$ for all $t \in (0, T)$. Next, we prove a comparison principle when $dμ$ is dominated by a Monge-Ampère measure of a bounded quasi-plurisubharmonic function, which implies the uniqueness of the solution.

日本語要約

コンパクトKähler多様体上の複素Monge–Ampère flowで、右辺の空間測度が特異であり得る場合を扱う。bounded potentialのMonge–Ampère測度、またはHölder potentialのMonge–Ampère測度に支配される測度に対して有界弱解の存在を示し、より一般の支配条件の下で比較原理と一意性を証明する。

We show the existence of a bounded solution to the Cauchy problem for the complex Monge-Ampère flow on a compact Kähler manifold, with the right-hand side of the form $dt \wedge dμ$ where $dμ$ is either a Monge-Ampère measure with a bounded potential or dominated by a Monge-Ampère measure with a Hölder continuous potential. For the second case, we also prove that for a given semi-positive big from $θ$, the $t$-slice of the solution is locally Hölder continuous on $\rm{Amp(θ)}$ for all $t \in (0, T)$. Next, we prove a comparison principle when $dμ$ is dominated by a Monge-Ampère measure of a bounded quasi-plurisubharmonic function, which implies the uniqueness of the solution.

コンパクトKähler多様体上の複素Monge–Ampère flowについて、右辺が一般のMonge–Ampère測度またはそれに支配される測度である場合の有界弱解を構成する。比較原理から一意性を導き、semi-positive big classのample locus上で正時刻sliceの局所Hölder連続性も示す。

arXiv
2603.11882v2
初回投稿日
2026-03-12
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

複素Monge–Ampère flowの右辺が滑らかな体積形式ではなく、特異な測度 $d\mu$ であるCauchy問題を扱う。parabolic pluripotential theoryにより有界弱解を定式化する。

$d\mu$ がbounded potentialのMonge–Ampère測度である場合、またはHölder continuous potentialのMonge–Ampère測度に支配される場合に解の存在を示す。後者ではsemi-positive big form $\theta$ のample locus上で各正時刻sliceが局所Hölder連続となる。

さらにbounded quasi-plurisubharmonic potentialのMonge–Ampère測度に支配される場合の比較原理を証明し、弱解の一意性を得る。

背景と問題設定

従来の存在・一意性理論は右辺密度に $L^p$, $p>1$ の仮定を置くことが多い。本論文は測度そのものをpluripotentialな支配条件で扱い、より特異な右辺へ範囲を広げる。

主結果

弱解の存在（Theorem 1.2）

Introductionでは概略として次のように述べられている。初期値 $u_0\in\operatorname{PSH}(X,\omega_0)\cap L^\infty(X)$ に対し、$d\mu$ が上記二種類のMonge–Ampère測度条件のいずれかを満たせばCauchy問題に有界弱解が存在する。Hölder支配の場合には $t\in(0,T)$ で $u_t$ が $\operatorname{Amp}(\theta)$ 上局所Hölder連続となる。

比較原理（Theorem 1.3）

$d\mu\leq C(\theta+dd^c\phi)^n$ を満たすbounded $\theta$-psh関数 $\phi$ が存在するとする。subsolution $u$ とsupersolution $v$ の初期値が $u_0\leq v_0$ なら、全時空で $u\leq v$ が成り立つ。これにより解の一意性が従う。

証明の見取り図

右辺測度を正則化し、parabolic Monge–Ampère operatorのcapacity収束と時間方向のsemi-concavityを組み合わせて極限を取る。比較原理では測度の支配条件を用いて最大値原理に相当するpluripotentialな議論を成立させる。

原論文との対応