多変数複素解析 · 2026-08-25
Pluripotential geometry on semi-positive effective divisors of numerical dimension one
数値次元1の半正有効因子上の多重ポテンシャル幾何 Takayuki Koike takayuki-koike-mho6e5 positivity pluripotential-theory monge-ampere-equations Positivity 正値性 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-AmperearXiv Abstract
We study the complex-analytic geometry of semi-positive holomorphic line bundles on compact Kähler manifolds. In one of our main results, for a $\mathbb{Q}$-effective line bundle satisfying a natural torsion-type assumption, we show the equivalence between semi-positivity and semi-ampleness. More generally, for an effective nef divisor of numerical dimension one, we characterize the semi-positivity of the associated line bundle in terms of the existence of a certain type of pseudoflat fundamental system of neighborhoods of the support. Furthermore, for an effective semi-positive divisor, we prove a dichotomy: either the divisor is the pull-back of a $\mathbb{Q}$-divisor by a fibration onto a Riemann surface, or the Hartogs extension phenomenon holds on the complement of its support. Our proof is based on a pluripotential method that has previously been used for studying the boundaries of pseudoconvex domains, which allows us to investigate the complex-analytic structure of neighborhoods of the support of the divisor even when the manifold is non-compact.
日本語要約
コンパクトKähler多様体上の半正正則直線束の解析幾何を研究する。数値次元1の有効nef因子では、半正値性が台のpseudoflatな基本近傍系の存在と同値である。自然なtorsion型仮定のもとで半正値性と半豊富性の同値を示し、さらに曲線へのファイブレーションか補集合上のHartogs延長かという二者択一を証明する。
We study the complex-analytic geometry of semi-positive holomorphic line bundles on compact Kähler manifolds. In one of our main results, for a $\mathbb{Q}$-effective line bundle satisfying a natural torsion-type assumption, we show the equivalence between semi-positivity and semi-ampleness. More generally, for an effective nef divisor of numerical dimension one, we characterize the semi-positivity of the associated line bundle in terms of the existence of a certain type of pseudoflat fundamental system of neighborhoods of the support. Furthermore, for an effective semi-positive divisor, we prove a dichotomy: either the divisor is the pull-back of a $\mathbb{Q}$-divisor by a fibration onto a Riemann surface, or the Hartogs extension phenomenon holds on the complement of its support. Our proof is based on a pluripotential method that has previously been used for studying the boundaries of pseudoconvex domains, which allows us to investigate the complex-analytic structure of neighborhoods of the support of the divisor even when the manifold is non-compact.
コンパクトKähler多様体上の数値次元1の有効nef因子について、付随する直線束の半正値性を台の近傍のunitary flat性によって特徴づける。torsion型仮定のもとでは半正値性と半豊富性が同値となり、一般の半正有効因子には曲線へのファイブレーションと補集合上のHartogs延長との二者択一が成立する。
several-complex-variables 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2511.13903v2
- 著者: Takayuki Koike
- 初回投稿日: 2025年11月17日
- 最終更新日: 2026年1月21日
- 主分類・副分類: math.CV（主分類）, math.AG
- ライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
要約
半正値直線束の局所weightがもつ多重劣調和性から、因子の台の近傍構造を読み取る問題を扱う。対象はコンパクトKähler多様体上の有効因子 $D$ で、付随する束 $[D]$ の数値次元が1の場合である。
第一の結果は、$D$ がnefなら $[D]$ の半正値性が台の近傍でのunitary flat性、および絶対値1の遷移関数をもつ局所定義関数の存在と同値であることを示す。滑らかな超曲面に限られていたUeda理論的手法と異なり、一般の有効因子を扱える。
$[mD]|_Y$ が正の整数 $m$ について自明というtorsion型仮定を加えると、半正値性は曲線へのファイブレーションから $D$ が引き戻される半豊富性と同値になる。最後に半正有効因子について、曲線のファイバーである場合と補集合でHartogs延長が成り立つ場合の排他的二者択一を得る。
背景と問題設定
数値次元は $$\operatorname{nd}(L)=\max{k\in{0,\ldots,n}\mid c_1^{\mathbb R}(L)^k\neq0}$$ である。bigな極端 $\operatorname{nd}(L)=n$ とunitary flatな極端 $0$ の中間で、数値次元1はabundance予想とも結びつく難しい場合である。
主結果
Theorem 1.1
コンパクトKähler多様体上の有効nef因子 $D$ が $\operatorname{nd}([D])=1$ を満たすとき、(i) $[D]$ が半正値、(ii) 台 $Y$ のある近傍で $[D]$ がunitary flat、(iii) $Y$ の局所定義関数 $s_j$ を $|s_j/s_k|=1$ となるよう取れる、の三条件は同値である。
Theorem 1.2
$D\neq0$ かつ $[mD]|_Y$ が自明なら、$[D]$ の半正値性は、コンパクトRiemann面への連結ファイバー付き全射 $\pi:X\to R$ と有効因子 $D_R$ が存在して $$\pi^*D_R=m'D$$ となることと同値である。
Theorem 1.4
連結な台 $Y$ をもつ半正有効因子について、$D$ が曲線へのファイブレーションのファイバーの有理数倍であるか、$X\setminus Y$ 上でHartogs型延長が成り立つかのちょうど一方が成立する。
証明の見取り図
半正値計量から得る多重劣調和関数 $\rho$ のlevel set上で、境界Monge–Ampère型量 $d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-1}$ を調べる。Demailly、Nemirovski、Fu–Shawに由来するこの量の制御により、台の近くのlevel setがLevi-flatとなる。これがunitary flat性または互いに交わらないコンパクト超曲面族を生み、コンパクトの場合にはファイブレーション／Hartogs延長の二者択一へつながる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2511.13903v2
- Introduction: Section 1, pp. 1–4
- 主要結果: Theorems 1.1–1.4
- 確認したarXivバージョン: v2
- source_scope: Abstract and Introduction