多変数複素解析 · 2026-10-01
Matsumura's extension problem for pluricanonical forms in Kähler families I: the smooth and essentially Moishezon cases
Kähler族におけるMatsumuraの多重標準形式延長問題I Jian Chen, Sheng Rao, Kai Wang jian-chen-auoqc9 sheng-rao-1oaunxo kai-wang-mm9d6z positivity multiplier-ideals-extension monge-ampere-equations Positivity 正値性 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Multiplier ideals and extension theorems 乗数イデアル・拡張定理 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-AmperearXiv Abstract
In this paper, we study a problem posed by Matsumura on the extension of pluricanonical forms in Kähler families with a relatively nef canonical bundle. We give an affirmative answer in the smooth case, and for one-parameter degenerations under the additional assumption that the relative canonical bundle restricts to a big line bundle on an irreducible component of the central fiber. In particular, we confirm Siu's conjecture on the invariance of plurigenera for a smooth Kähler family with one fiber admitting the nef canonical bundle. The key step in the smooth case is to construct a semipositively curved singular metric on the relative canonical bundle with the integrability required for Cao's $L^2$ extension theorem, using P\u{a}un's twisted form of Schumacher's curvature formula and a uniform Monge--Amp\`ere estimate obtained by adapting the capacity method of Boucksom--Eyssidieux--Guedj--Zeriahi. For one-parameter degenerations, we propagate bigness from an irreducible component of the central fiber to nearby smooth fibers and then apply Matsumura's relative Kawamata--Viehweg vanishing theorem on a projective modification to obtain the desired extension.
日本語要約
相対標準束がnefなKähler族における多重標準形式の延長問題を扱う。滑らかな族では肯定解を与え、一つのファイバーの標準束がnefなら多重種数が不変であるというSiu予想を確認し、退化族にもbigness仮定の下で延長する。
In this paper, we study a problem posed by Matsumura on the extension of pluricanonical forms in Kähler families with a relatively nef canonical bundle. We give an affirmative answer in the smooth case, and for one-parameter degenerations under the additional assumption that the relative canonical bundle restricts to a big line bundle on an irreducible component of the central fiber. In particular, we confirm Siu's conjecture on the invariance of plurigenera for a smooth Kähler family with one fiber admitting the nef canonical bundle. The key step in the smooth case is to construct a semipositively curved singular metric on the relative canonical bundle with the integrability required for Cao's $L^2$ extension theorem, using P\u{a}un's twisted form of Schumacher's curvature formula and a uniform Monge--Amp\`ere estimate obtained by adapting the capacity method of Boucksom--Eyssidieux--Guedj--Zeriahi. For one-parameter degenerations, we propagate bigness from an irreducible component of the central fiber to nearby smooth fibers and then apply Matsumura's relative Kawamata--Viehweg vanishing theorem on a projective modification to obtain the desired extension.
相対標準束がnefなKähler族における多重標準形式の延長問題を扱う。滑らかな族では肯定解を与え、一つのファイバーの標準束がnefなら多重種数が不変であるというSiu予想を確認し、退化族にもbigness仮定の下で延長する。
several-complex-variables 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.40040
- 著者: Jian Chen, Sheng Rao, Kai Wang
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年09月30日
- 主分類・副分類: math.CV, math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Matsumuraの問題は、相対標準束がnefな一変数Kähler退化族で、中心ファイバー上の多重標準形式が全空間へ延長するかを問う。本論文はまず滑らかな場合を解決し、さらに中心ファイバーの既約成分上で相対標準束がbigである退化の場合を扱う。
滑らかな族では、一つのファイバーの標準束がnefなら全ての多重種数が一定となる。これはKähler族に対するSiu予想をこの仮定の下で確認する結果である。
背景と問題設定
射影的またはMoishezonな族では多重種数不変性に多くの先行結果があるが、一般のKähler族では解析的な拡張に必要な特異計量と可積分性の構成が障害となる。
主結果
滑らかな場合の延長（Theorem 1.2 = Theorem 3.8）
$f:X\to\Delta$を滑らかなproper surjective Kähler morphismとし、相対標準束が$f$-nefであるとする。任意の$m>0$について中心ファイバー上の$m$重標準形式は、円板を縮小した後に全空間へ延長する。
多重種数不変性（Theorems 1.3, 1.4）
滑らかなKähler族で一つのファイバーの標準束がnefなら、任意の$m>0$に対する$P_m(X_t)$は$t$によらない。Introductionではこの結論がSiu予想の肯定解として述べられている。
一変数退化（Theorem 1.7 = Theorem 5.2）
中心ファイバーがsimple normal crossingsで、相対標準束がnef、かつその制限が中心ファイバーのある既約成分上でbigであるとする。このとき、その成分上の多重標準切断に対する延長結論を得る。
証明の見取り図
滑らかな場合はPăunによるtwisted Schumacher curvature formulaとBEGZのcapacity法を用いて、相対標準束上に半正曲率の特異計量を構成する。その可積分性にCaoの$L^2$延長定理を適用する。退化の場合は中心成分から近傍の滑らかなファイバーへbignessを伝播し、projective modification上の相対Kawamata–Viehweg消滅へ帰着する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.40040
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.2–1.4, 1.7
- 論文構成の説明: Introduction末尾
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction