多変数複素解析 · 2026-09-23
Ample vector bundles without Griffiths-semipositive metrics
Griffiths半正値計量を持たないampleベクトル束 Yun-Heng Du, Song-Yan Xie yun-heng-du-767nzd song-yan-xie-496a5j positivity vector-bundles-sheaves stability Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性arXiv Abstract
We construct a rank-two ample holomorphic vector bundle on an abelian surface that admits no smooth Griffiths-semipositive Hermitian metric, thereby giving a counterexample to the Griffiths conjecture. The proof combines a curvature obstruction that persists under deformations with the openness of ampleness in an irreducible moduli space of stable sheaves.
日本語要約
Hartshorneの意味でampleなベクトル束がGriffiths正値計量を持つかという古典的問題に反例を与える。あるAbel曲面上で階数2のample正則ベクトル束を構成し、それが滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量すら持たないことを示す。構成の要点は、split bundle近傍で検出されるLevi曲率障害が変形後も残る一方、安定層の既約モジュライ族ではamplenessがZariski開条件となることである。
We construct a rank-two ample holomorphic vector bundle on an abelian surface that admits no smooth Griffiths-semipositive Hermitian metric, thereby giving a counterexample to the Griffiths conjecture. The proof combines a curvature obstruction that persists under deformations with the openness of ampleness in an irreducible moduli space of stable sheaves.
Abel曲面上に、ampleであるが滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量を持たない階数2正則ベクトル束を構成する。曲率障害の変形不変性と安定層モジュライにおけるamplenessの開性を組み合わせ、Griffiths予想への反例を与える。
several-complex-variables 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.26504
- 著者: Yun-Heng Du, Song-Yan Xie
- 初回投稿日: 2026-09-22
- 最終更新日: 2026-09-22
- 主分類・副分類: math.CV, math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Abel曲面上に、ampleであるが滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量を持たない階数2正則ベクトル束を構成する。曲率障害の変形不変性と安定層モジュライにおけるamplenessの開性を組み合わせ、Griffiths予想への反例を与える。
Hartshorneの意味でampleなベクトル束がGriffiths正値計量を持つかという古典的問題に反例を与える。あるAbel曲面上で階数2のample正則ベクトル束を構成し、それが滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量すら持たないことを示す。構成の要点は、split bundle近傍で検出されるLevi曲率障害が変形後も残る一方、安定層の既約モジュライ族ではamplenessがZariski開条件となることである。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
Hartshorneの意味でampleなベクトル束がGriffiths正値計量を持つかという古典的問題に反例を与える。Introductionは従来結果の到達点と、本論文が解く未解決部分を区別して位置付ける。
主結果
Griffiths予想への反例（Theorem 1.1）
あるAbel曲面 $X$ と階数2正則ベクトル束 $E$ が存在し、$E$ はampleであるにもかかわらず滑らかなGriffiths半正値Hermitian計量を持たない。したがって、代数的amplenessからGriffiths正値性を期待する一般形は成立しない。
証明の見取り図
まず直和束の水平lift上のLevi形式から、Griffiths半正値性を妨げるadjoint obstructionを取り出し、これが小変形で消えないことを示す。次に安定層の既約モジュライ空間内で変形し、amplenessのZariski開性と障害の持続性が同時に成り立つ点を選ぶ。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.26504
- Introduction: Section 1, pp. 1–2
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1
- 確認したarXivバージョン: 2609.26504v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction