多変数複素解析 · 2026-09-09

Big and nef cohomology classes on compact Kähler spaces

コンパクトKähler空間上のbigかつnefなコホモロジー類

Duc-Viet Vu

duc-viet-vu-14klthn positivity complex-analytic-spaces pluripotential-theory Positivity 正値性 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex analytic spaces 複素解析空間

arXiv Abstract

We first prove a version of the Demailly-Paun theorem for compact weakly Kaehler spaces. Secondly, for a big and nef Bott-Chern class on a compact normal Kaehler space, we prove that the restricted non-Kaehler locus, defined using Kaehler currents with weak analytic singularities, is equal to the usual non-Kaehler locus.

日本語要約

コンパクト弱Kähler空間に対するDemailly–Păun型定理を証明する。次に、正規コンパクトKähler空間上のbigかつnefなBott–Chern類について、弱解析的特異性をもつKähler currentだけを使って定めた制限付き非Kähler locusが通常の非Kähler locusと一致することを示す。

We first prove a version of the Demailly-Paun theorem for compact weakly Kaehler spaces. Secondly, for a big and nef Bott-Chern class on a compact normal Kaehler space, we prove that the restricted non-Kaehler locus, defined using Kaehler currents with weak analytic singularities, is equal to the usual non-Kaehler locus.

Demailly–PăunによるKähler錐の数値的特徴付けを、正規性も大域的埋め込みも仮定しないコンパクト弱Kähler空間へ拡張する。さらに正規コンパクトKähler空間上のbigかつnefなBott–Chern類について、通常の非Kähler locus、弱解析的特異性で定めたlocus、null locusが一致することを示す。

arXiv
2609.07489v1
初回投稿日
2026-09-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

滑らかなコンパクトKähler多様体では、Demailly–Păun定理がKähler錐を全ての正次元解析的部分集合上で正の自己交叉をもつ類の錐の連結成分として特徴付ける。本論文は、正規性や滑らかな空間への大域的埋め込みを仮定せず、弱Kähler空間へこの記述を拡張する。

特異空間では通常のBott–Chern群だけでなく、局所potentialを必ずしももたない閉形式を許す拡張Bott–Chern群を用いる必要がある。この枠内で弱Kähler類、Kähler currentを含む類、数値的に正な類の関係を明らかにし、nef類を弱Kähler類で近似できることを導く。

もう一つの主結果は、bigかつnefな類の非Kähler locusに関するものである。正規コンパクトKähler空間上でも、弱解析的特異性をもつcurrentに制限して定めた集合は通常の非Kähler locusを失わず、いずれもnull locusと一致する。

背景と問題設定

拡張Bott–Chern群を$\widetilde H^{1,1}_{BC}(X,\mathbb R)$、弱Kähler形式を含む類の錐を$\widetilde{\mathcal K}$、各正次元既約解析的部分集合上で最高自己交叉が正となる類の錐を$\widetilde{\mathcal P}$とする。滑らかな場合には通常のBott–Chern群へ戻るが、特異空間ではこの拡張が本質的である。

主結果

Demailly–Păun型特徴付け（Theorem 1.1）

コンパクト弱Kähler空間$X$について、$\widetilde{\mathcal K}$は$\widetilde{\mathcal P}$の一つの連結成分である。さらに$X$がKählerなら、通常のBott–Chernコホモロジー内でもKähler錐$\mathcal K$は対応する数値的正錐$\mathcal P$の連結成分となる。正規性もambient embeddingも不要である。

Corollary 1.2は、弱Kähler形式を含む錐と滑らかなKähler currentを含む錐の一致を与え、nef類が弱Kähler類で近似できることを示す。射影多様体ではTheorem 1.3により連結成分という留保も外れ、正値性とnef性が全ての既約部分多様体上の交叉数の正・非負で特徴付けられる。

非Kähler locusの一致（Theorem 1.4）

正規コンパクトKähler空間$X$上のbigかつnefな$\alpha\in H^{1,1}_{BC}(X,\mathbb R)$に対して

$$ E_{nK}(\alpha)=E^{as}_{nK}(\alpha)=\operatorname{Null}(\alpha) $$

が成り立つ。中央の集合は弱解析的特異性をもつKähler currentだけで定義されるため、これは特異空間上の近似が非Kähler locusを正確に保つことを意味する。

証明の見取り図

Introductionによれば、第一の定理はDemailly–PăunとPăunの議論を特異空間向けに展開する。これから異なるKähler錐の一致とnef類の近似を導く。第二の定理ではplurisubharmonic関数とKähler currentの特異性を制御し、既知のnull locusとの等式に弱解析的特異性による定義を接続する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.07489
  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1, Corollary 1.2, Theorem 1.3, Theorem 1.4
  • 論文構成の説明: p. 3
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction