多変数複素解析 · 2026-09-19
Canonical complex extensions of Kähler manifolds
Kähler多様体の標準複素拡張 Daniel Greb, Michael Lennox Wong daniel-greb-1qkz61k michael-lennox-wong-1ddnmbz positivity stein-geometry curvature Positivity 正値性 Curvature geometry 曲率幾何 Stein geometry and the Levi problem Stein幾何・Levi問題arXiv Abstract
Given a complex manifold $X$, any Kähler class defines an affine bundle over $X$, and any Kähler form in the given class defines a totally real embedding of $X$ into this affine bundle. We formulate conditions under which the affine bundles arising this way are Stein and relate this question to other natural positivity conditions on the tangent bundle of $X$. For compact Kähler manifolds of non-negative holomorphic bisectional curvature, we establish a close relation of this construction to adapted complex structures in the sense of Lempert--Szőke and to the existence question for good complexifications in the sense of Totaro. Moreover, we study projective manifolds for which the induced affine bundle is not just Stein but affine and prove that these must have big tangent bundle. In the course of our investigation, we also obtain a simpler proof of a result of Yang on manifolds having non-negative holomorphic bisectional curvature and big tangent bundle.
日本語要約
Kähler類は余接束をモデルとするアフィン束を定め、類のKähler形式は基礎多様体をその中へ全実埋込みする。論文はこの標準複素拡張がSteinとなる条件を接束の正値性と関連付ける。非負正則双断面曲率をもつコンパクトKähler多様体では、適合複素構造およびgood complexificationとの対応も得られる。射影的な場合、拡張がアフィンなら接束はbigである。
Given a complex manifold $X$, any Kähler class defines an affine bundle over $X$, and any Kähler form in the given class defines a totally real embedding of $X$ into this affine bundle. We formulate conditions under which the affine bundles arising this way are Stein and relate this question to other natural positivity conditions on the tangent bundle of $X$. For compact Kähler manifolds of non-negative holomorphic bisectional curvature, we establish a close relation of this construction to adapted complex structures in the sense of Lempert--Szőke and to the existence question for good complexifications in the sense of Totaro. Moreover, we study projective manifolds for which the induced affine bundle is not just Stein but affine and prove that these must have big tangent bundle. In the course of our investigation, we also obtain a simpler proof of a result of Yang on manifolds having non-negative holomorphic bisectional curvature and big tangent bundle.
Kähler類から定まる余接束型のアフィン束を標準複素拡張として調べ、そのStein性・アフィン性を接束の正値性と結び付ける。非負正則双断面曲率の場合のStein性、適合複素構造との対応、アフィン性から接束のbig性が従うことを示す。
several-complex-variables 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:1807.01223
- 著者: Daniel Greb, Michael Lennox Wong
- 初回投稿日: 2018-07-03
- 最終更新日: 2019-02-01
- 主分類・副分類: math.CV, math.DG
- ライセンス: CC BY-NC-SA 4.0
要約
Kähler類は余接束をモデルとするアフィン束を定め、類のKähler形式は基礎多様体をその中へ全実埋込みする。論文はこの標準複素拡張がSteinとなる条件を接束の正値性と関連付ける。非負正則双断面曲率をもつコンパクトKähler多様体では、適合複素構造およびgood complexificationとの対応も得られる。射影的な場合、拡張がアフィンなら接束はbigである。
背景と問題設定
Kähler類 $[\omega]\in H^{1,1}(X)\simeq H^1(X,\Omega_X^1)$ は拡張類を通じて、$\Omega_X^1$ をモデルとするアフィン束 $Z_{[\omega]}\to X$ を定める。Kähler形式は $X$ の $Z_{[\omega]}$ への全実埋込みを与えるため、この全空間がいつSteinになるかが中心問題である。
曲線では、$X=\mathbf P^1$ の拡張はアフィン、楕円曲線ではSteinだが非アフィン、高種数曲線では非定数正則函数をもたない。この対照が接束の正値性との関係を示唆する。
主結果
非負正則双断面曲率の場合
非負正則双断面曲率をもつコンパクトKähler多様体では、有限エタール被覆後に複素トーラス上の旗多様体束となる構造を用い、$Z_{[\omega]}$ がSteinであることを示す。さらに適切な同じKähler類の計量に対するLempert–Szőke型の適合複素構造は全接束上に延び、標準複素拡張と双正則になる。
アフィン性からの必要条件
射影多様体 $X$ について、あるKähler類の標準複素拡張がアフィンなら $T_X$ はbigである。また、非負正則双断面曲率とbigな接束を仮定した場合のYangの分類に簡潔な別証明を与える。
証明の見取り図
Stein性は、Mokの一意化定理による有限エタール被覆の構造と、トーラスおよび旗多様体での拡張の具体的解析を組み合わせて示す。アフィン性からbig性を導く部分では、$Z_{[\omega]}$ の射影的コンパクト化に現れる無限遠因子の法束を、$\mathbf P(\Omega_X^1)$ 上の標準線束と比較する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:1807.01223
- Introduction: PDF冒頭のIntroduction
- Introduction中で言及された主要定理番号: 上記各小節に記載
- 確認したarXivバージョン: 1807.01223v2
- 確認したライセンス: CC BY-NC-SA 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction