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Kähler–Einstein metrics
Existence, uniqueness, degeneration, deformation, or geometry of Kähler–Einstein metrics is central.
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複素次元3以上のコンパクトHermitian多様体で、Chernスカラー曲率の二乗積分の共形勾配流を研究する。曲率の時間積分条件から有限時刻を越える継続を、発展計量に関するLp評価から大域存在と全軌道の滑らかな収束を導く。特別な背景計量への指数収束は初期曲率の小ささを要し、一定Chernスカラー曲率だけで安定性が保証されるわけではない。
Euclid体積増大をもつ完備Ricci平坦Kähler多様体が、正規アフィン多様体の射影的crepant解消となることを示す。無限遠錐の一意性と多項式速度での収束も得る一方、体積増大がそれより小さい場合には、有限位相型かつ有界曲率でもKählerコンパクト化できない複素三次元の例を構成する。
全空間がKählerである滑らかな固有族と相対単純正規交叉境界について、係数が1未満の有理境界なら対数多重標準切断が局所拡張し、多重種数が不変となることを示す。さらに係数1を許す実境界と滑らかな半正の捻りに対し、随伴類の擬有効性と体積の不変性を得る。
負のKähler–Einstein計量を持つ多様体の滑らかな極限は、複素次元3以下では射影的で、標準束がbigかつsemiampleとなることを示す。次元4以上では、一般ファイバーの標準束が豊富でも中央ファイバーが非Kähler Moishezonとなる例を構成し、次元の境界が鋭いことを示す。
標準束がsemi-ampleなコンパクトKähler多様体で、標準類へ近づくKähler類内のcscK計量の極限を同定する。特異ファイバーの外での計量収束と、標準モデル上のtwisted Kähler–Einstein計量の完備化へのGromov–Hausdorff収束を示す。
固定した特殊なSchoen三次元多様体の1パラメータKähler類に対し、Ricci-flat計量を核・積分・収束級数で明示する。例外曲線の尺度が十分小さい領域で非線形補正を構成し、係数、打切り誤差、背景計量との比較を定量的に評価する。
区分的にC²滑らかな境界をもつ有界擬凸領域に、完備Kähler–Einstein計量で有限体積となる自由な離散群商があれば、その領域は複素単位球の直積と双正則になることを示す。凸性を仮定せず、Levi-flat境界の場合は多重円板、滑らかな擬凸境界の場合は単一の球へ結論を絞る。
完備な非定常勾配Kähler–Ricciソリトンでスカラー曲率が一定なら、普遍被覆はKähler–Einstein因子と複素Euclid空間の積に分裂する。RicciテンソルのLie微分の符号から剛性を導く、Kähler仮定を要しない判定も示す。
固定したKummer K3曲面の小パラメータ族のKähler類について、Calabi–Yau計量のポテンシャルを収束する再帰級数で表す。背景Green作用素とMonge–Ampère方程式の二次項を明示し、Catalan数による評価で例外曲線を含む曲面全体での収束を示す。
全空間がKählerである円板上の滑らかな固有正則族について、各ファイバーの多重標準切断が全空間へ延長することを示す。全ての多重種数の不変性を導き、標準束のnef性を仮定していた従来のKähler族の結果を越えると主張する。
コンパクトHermitian多様体上の複素Monge–Ampère方程式について、有界な弱解から滑らかさを得る問題を扱う。右辺が未知関数に関して減少し得る場合も、データが滑らかで背景形式の退化を避けた領域では解が滑らかになると示す。支配原理と一様評価に基づく方法であり、klt空間の正則部分や上下解による存在問題にも適用する。
K3曲面とEnriques曲面上のRicci-flat Kähler計量が、体積を失わず同じ平坦orbifoldへ収束する例を構成する。従って、直径と体積を制御してもGromov–Hausdorff距離が近いだけでは基本群の一致は保証されない。局所hyperkählerな四次元多様体の別の基本群の組合せも扱う。
トーリックFano多様体上で、反標準類のsymplectic形式を持つトーラス不変な一般化Kähler計量から出発する正規化一般化Kähler–Ricci流を調べる。複素トーラスの作用で引き戻すとKähler–Ricciソリトンへ滑らかに収束し、Futaki不変量が消える場合には引き戻しなしでKähler–Einstein計量へ指数収束する。
複素次元2以上の有界連結擬凸領域で、境界に滑らかな強擬凸点が一つあれば、Bergman計量のextremal性・定スカラー曲率・Kähler–Einstein性が同値になる。境界全体の滑らかさを仮定せず、局所的な境界漸近と一意接続を用いて大域的な曲率剛性を導く。
射影空間内の次数 $(2,n)$ の滑らかな完全交叉が、すべての $n>1$ でK安定であることを示す。曲線上の複数点に沿う局所安定性閾値を評価することで、従来の高次元の制約を外す。この族の全滑らかなメンバーにKähler–Einstein計量が存在することも従う。
第三del Pezzo曲面 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}^2}$ の閉形式で未知なtoric Kähler–Einstein計量を、明示的な近似解と厳密な誤差評価で捉える。真の計量が近似計量の近傍にあることを証明し、正則断面曲率が全点で正ではないことと対称性を課した第一固有値の評価を導く。
klt特異点をもつコンパクト正規Kähler空間上で、pluripotential theoryにおけるRicci currentの下界をRCD理論の合成的Ricci下界へ結び付ける。Kähler–Einstein空間のmetric completionと複素空間を同一視し、klt Calabi–Yau空間の基本群がalmost Abelianであることなどを導く。
Fujiki classのコンパクト複素多様体上で、非正の定Chern正則断面曲率を持つHermitian計量そのものがKählerであることを示す。負の場合は複素双曲一意化、零の場合は平坦性と有限étaleトーラス被覆を得て、正の場合にもbalanced三次元で射影空間への剛性を証明する。
$n\ge3$ の擬凸領域が滑らかな強擬凸境界点を持つとき、定scalar曲率Bergman計量は必ずKähler–Einsteinであることを示す。Bergman不変量の境界漸近とunique continuationにより、滑らかな境界の場合まで剛性を確立する。
単純正規交差因子に沿うKähler–Einstein錐計量から接束、Tian拡大、標準Higgs束のparabolic多重安定性を導く。結果として対 $(X,\Delta)$ の明示的なChern類に対するMiyaoka–Yau不等式を証明する。
Fano多様体上のKähler計量がextremalであり、かつKähler–Ricci solitonであるならKähler–Einsteinであることを証明する。曲率やトーリック性の追加仮定を除き、二つの標準計量概念の交わりを完全に決定する剛性定理である。
有限次元射影空間から誘導される計量を持つコンパクトKähler–Einstein曲面を、対称性や余次元の上限なしに分類する。結論は $\mathbb P^2$ と $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ の標準計量の正整数倍だけであり、曲面の場合のLoi–Zedda予想を解決する。
LeBrunによるTaub--NUT計量の任意の正の定数倍が、有限次元・無限次元を問わず複素射影空間へKähler等長埋め込みを持たないことを示す。Lambert $W$ 関数の分岐点とCalabiの判定法を結び、従来のパラメータ制限を除去する結果である。
Fano束を潰す非正規化Kähler--Ricci流について、有限特異時刻で全ファイバーのスカラー曲率と直径がType I尺度で制御されることを示す。ファイバーが滑らかなKähler–Einstein計量をもつ場合には全曲率のType I評価と、放物型拡大極限が $\mathbb C^m\times F$ になることまで証明する。
射影空間にKähler immersionされる滑らかなcompact toric Kähler–Einstein多様体を全次元で分類し、射影空間の積と整合するFubini–Study計量、完全Veronese–Segre埋込みに限ることを示す。核となる二変数Laurent多項式の分類は、有限support指数型族に関するFisher情報行列式の剛性も同時に解く。
compact Kähler多様体のbig cohomology classにおけるtwisted Kähler–Einstein currentについて、二つの解がtwistを保つ正則flowで結ばれるBando–Mabuchi型一意性を証明する。Berndtssonのlog-integral凸性の等号問題を、$H^{0,1}(X)=0$ やsubgeodesicの特異性型への制限なしに解き、$\delta_\psi([\theta])>1$ の下では実際の一意性を得る。
定実双断面曲率をもつコンパクトHermitian多様体について、定数はゼロで計量はChern flatであるというYang--Zheng予想を解決する。さらにKähler計量を許容するコンパクト複素多様体上では、負の定正則断面曲率をもつpluriclosed Hermitian計量がKählerであり、複素双曲空間形を与えることを示す。
完備Kähler--Einstein多様体上の円板束にCalabi ansatzで入る完備Kähler--Einstein計量について、正則断面曲率とRiemann断面曲率を計算し負のpinchingを調べる。さらに対応する擬凸Hartogs領域のBergman計量がKähler--Einsteinとなるのは、その領域が単位球と双正則同値な場合に限ることを示す。
複素射影空間へKähler埋入できる$\mathbb C^n$上の動径Kähler計量を分類する。非負定スカラー曲率の場合の候補をFubini--Study計量、平坦計量、二次元の一般化Burns--Simanca計量に絞り、Kähler--Einsteinの場合には定正則断面曲率を導く。
Kähler–Einstein多様体の積を底とする$\mathbb{CP}^m$束上で、Calabi対称な初期計量から出るKähler–Ricci流を調べる。有限時間に特異化するなら曲率爆発は必ずType Iであることを示し、ファイバー崩壊と部分多様体収縮の双方を扱う。
Kähler多様体のCalabi曲率作用素について、低い固有値の和の正値性からスカラー曲率、Ricci曲率、直交Ricci曲率の正値性を導く。さらにコンパクトKähler--Einstein多様体では、明示的な固有値和の下界から正則断面曲率が非負の定数となる剛性を証明する。
負曲率Kähler--Einstein多様体の退化族について、中心ファイバーが単純正規交差を持つときのBergman埋め込みの極限を決定する。極限は中心ファイバーの正規化の埋め込みだけでなく、交差層に沿う多重bubbleを含み、その形は正規交差の組合せで記述される。
正規複素解析klt対の適合測度に関してDemailly--Kollár型連続性を確立し、解析的alpha・delta不変量と因子的定義が一致することを示す。big類におけるtwisted Kähler--Einstein方程式へ因子的Yau--Tian--Donaldson判定を与え、孤立log terminal特異点の局所alpha不変量を正規化体積と結び付ける。
錐型Kähler–Einstein対の非崩壊Gromov–Hausdorff極限にDonaldson–Sun理論を拡張し、境界付き接錐の代数構造と一意性を示します。単なるRicci下限では接錐が一意にならない反例も構成し、Kähler–Einstein条件の剛性を明確にします。
閉Kähler曲面では、任意のRiemann計量のスカラー曲率の負部分が単体体積を一様に支配することを示し、Gromovの定量的予想を係数 $27/2$ で解決する。 証明はYamabe不変量、曲面分類、nef標準束に近づく捩れ負Kähler–Einstein計量を結び、さらに同じ評価を満たす非Kählerシンプレクティック4次元多様体の無限族も与える。
負の Kähler–Einstein 計量に対する無限小 Einstein 変形が、実際の Einstein 計量の曲線へ積分できるかを問う。著者は、積でない標準偏極三次元多様体を構成し、その8実次元の無限小変形空間のうち厳密に6次元だけが可積分で、残る方向は三次 Einstein 次数で障害を受けることを示す。
Sasaki幾何を高いCR余次元へ拡張する $\mathcal S$-多様体について、平行歪みtorsionを持つ特性接続のholonomyと標準沈め込みを調べる。基底および横断方向のKähler–Einstein条件を全空間の一般化η-Einstein条件と対応させ、特性接続のRicci平坦性を特徴づける。
Fano admissible多様体では、Mabuchi定数が1未満であることがMabuchiソリトンの存在の必要十分条件になる。特性多項式の三つの積分で定数を計算し、射影空間上の該当する射影束について存在例を完全に特定する。
非コンパクト複素多様体上で完全標準Hermitian計量のRicci形式を処方する問題を、非線形楕円型方程式の一様評価を通じて扱う。負Ricci曲率を持つ完全Kähler多様体上のKähler–Einstein計量、非コンパクトGauduchon型問題、Hesse–Einstein計量について、具体的な幾何・解析仮定の下で存在一意性を与える。
非有界擬凸領域の有限D'Angelo型境界点でBergman核を局所化する定理を証明する。これを用い、実解析的境界を持つ有界擬凸領域のBergman計量がEinsteinであることと、その領域が単位球に双正則であることが同値だと示し、Cheng--Yau予想をこの範囲で解決する。
半ampleな標準束をもつコンパクトKähler多様体上の正規化Kähler–Ricci flowについて、Song–Tianの予想した大域的Gromov–Hausdorff収束を証明する。極限は標準モデル上のtwisted Kähler–Einstein計量の距離完備化であり、崩壊する中間Kodaira次元も追加の滑らかさ仮定なしに含む。
特異Kähler–Einstein計量をもつ標準係数のlog Fano対について、任意のstrictly adapted morphism上の適合接層と適合canonical extensionが偏極 $f^*c_1(X,\Delta)$ に関してpolystableであることを示す。この安定性を既知の等号場合の議論と組み合わせ、orbifold Miyaoka–Yau等式を満たす対を射影空間の有限商として特徴づける。
完全非コンパクトKähler–Einstein多様体上で、定スカラー曲率を保つポテンシャル摂動が再びKähler–Einsteinとなる十分条件を与える。放物型性、またはスペクトルギャップと成長制御を用い、有界強擬凸領域のBergman計量についてもcscK性からKähler–Einstein性を導く。
log terminal特異点と第一Chern類の消滅をもつコンパクトKähler多様体上で、特異Ricci平坦Kähler計量のオービフォールド軌跡における正則性を証明する。局所 自明な代数近似とMonge–Ampère方程式の一様評価を結び、射影的場合に知られていた結論をKählerの場合へ移す。
ADE特異点をもつ中心ファイバーへ退化するKähler曲面族で、標準計量の第2 Chern形式のファイバー積分がどの程度連続に延長するかを調べる。cscK計量では実半直線上、偏極K3曲面のRicci平坦計量では円板全体で、同時解消に必要な基底変換の次数を用いたHölder指数の下限を与える。
klt特異点をもつ射影3次元多様体上の特異Kähler計量が定める距離測度空間を扱う。Nash entropyの有界性とRicci曲率の下界から、完備化が元の多様体と同相な非崩壊RCD空間になることを示し、複素解析的特異点と合成的Ricci曲率の橋渡しを与える。
特異射影多様体上のKähler–Einstein計量について、滑らかなcscK計量による特定の近似があるとき、正則部分の距離完備化が非崩壊RCD空間となり元の多様体と同相であることを示す。さらに距離的特異集合と複素解析的特異集合の一致、およびHausdorff余次元4以上を得る。
孤立 log terminal 特異点の近傍で正曲率 Kähler–Einstein 計量を構成する問題を、複素 Monge–Ampère 方程式の Dirichlet 問題として研究する。Moser–Trudinger 不等式の臨界指数が領域や境界値によらない局所不変量であることを示し、alpha 不変量と正規化体積による上下界、および臨界未満での滑らかな解の存在を与える。
bigな超越的コホモロジー類上で、因子的delta不変量が1を超えるという一様安定性からtwisted Kähler–Einstein計量の存在を導く。特に反標準類がbigなら一様Yau–Tian–Donaldson型存在定理が得られ、一般のbig類でも多重ポテンシャル論とDing汎関数だけで存在論を扱えることを示す。
滑らかな因子に沿う錐角 $2\pi\beta$ のKähler–Einstein計量を $\beta\to0$ とした極限を調べる。球商のトロイダルコンパクト化では複素双曲計量への収束を示し、Fano多様体の滑らかな反標準因子では適切な再尺度化が完全Ricci平坦Tian–Yau計量へ収束する一方、非再尺度化空間が区間へ測度付きGromov–Hausdorff収束することを証明する。
孤立した非klt対数標準特異点の近傍で、負スカラー曲率の有限体積Kähler–Einstein計量をDirichlet問題から構成する。複素次元2では完全性を証明し、任意の完全解が複素双曲球商または双曲上半平面の積の商に由来するモデルへ滑らかに漸近することを示す。
Fujita–Odakaの代数的 $\delta$-不変量がMoser–Trudinger型不等式の最適指数 $\delta_A$ と一致することを、Bergman空間上の量子化で証明する。これにより任意の実偏極に対するtwisted Kähler–Einstein計量の一様YTD定理を得るとともに、cscK計量の計算可能な存在判定を与える。