複素微分幾何学 · 2026-09-25

Ricci entropy, RCD structures and Kahler spaces

Ricci entropy・RCD構造・Kähler空間

Bin Guo, Jian Song, Jacob Sturm

bin-guo-5qv1tn jian-song-1io122w jacob-sturm-1009u8v singularities kahler-einstein-metrics fundamental-groups Singularities 特異点・特異性 Kähler–Einstein metrics ケーラー・アインシュタイン計量 Fundamental groups 基本群 Kähler Einstein Kahler Einstein Kähler-Einstein Kahler-Einstein

arXiv Abstract

This paper is the final installment in our series on the geometric theory of complex Monge-Ampere equations. We study singular Kahler metrics on compact normal Kahler spaces with klt singularities whose volume densities lie in $L^p$ for some $p>1$. We show that a lower bound for the Ricci current in the sense of pluripotential theory is equivalent to a synthetic Ricci lower bound in the sense of RCD theory. As a consequence, every Kahler class on a compact normal Kahler space with klt singularities admits an RCD structure, which makes differential geometric analysis available on singular complex spaces. As an application, we show that the fundamental group of a compact Kahler Calabi-Yau space with klt singularities is almost Abelian. We further establish compactness results for singular Kahler-Einstein spaces.

日本語要約

klt特異点をもつコンパクト正規Kähler空間上の特異Kähler計量を扱い、$L^p$ 体積密度とRicci currentの下界からmetric completionがnoncollapsed RCD空間になることを示す。completionは元の複素空間と同相であり、特異集合の次元評価、基本群のalmost Abelian性、Kähler–Einstein空間のcompactnessへ応用される。

This paper is the final installment in our series on the geometric theory of complex Monge-Ampere equations. We study singular Kahler metrics on compact normal Kahler spaces with klt singularities whose volume densities lie in $L^p$ for some $p>1$. We show that a lower bound for the Ricci current in the sense of pluripotential theory is equivalent to a synthetic Ricci lower bound in the sense of RCD theory. As a consequence, every Kahler class on a compact normal Kahler space with klt singularities admits an RCD structure, which makes differential geometric analysis available on singular complex spaces. As an application, we show that the fundamental group of a compact Kahler Calabi-Yau space with klt singularities is almost Abelian. We further establish compactness results for singular Kahler-Einstein spaces.

klt特異点をもつコンパクト正規Kähler空間上で、pluripotential theoryにおけるRicci currentの下界をRCD理論の合成的Ricci下界へ結び付ける。Kähler–Einstein空間のmetric completionと複素空間を同一視し、klt Calabi–Yau空間の基本群がalmost Abelianであることなどを導く。

arXiv
2609.28986v1
初回投稿日
2026-09-24
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

特異Kähler計量のRicci下界には、currentとしての解析的定式化と、metric measure spaceとしてのRCD定式化がある。本論文はklt Kähler空間上で両者を接続する。

$L^p$ 体積密度をもつ計量が正則部分でRicci下界を満たすと、そのmetric completionはnoncollapsed RCD空間となる。さらにcompletionは元の複素空間と同相であり、metric regular locusは解析的正則部分に一致する。

この構造を用いて、klt Kähler Calabi–Yau空間の基本群がalmost Abelianであることや、特異Kähler–Einstein空間のcompactnessを導く。

背景と問題設定

複素Monge–Ampère方程式から得られる弱い計量を距離空間として理解するには、特異集合を越えたRicci下界とcompletionの制御が必要である。RCD理論はその合成的枠組みを与える。

主結果

RCD構造（Theorem 1.1）

複素次元 $n$ のコンパクト正規klt Kähler空間上で、$p>1$ の $L^p$ 体積密度をもち、正則部分で $\operatorname{Ric}(\omega)\geq-\omega$ を満たす計量のcompletionはcompact noncollapsed $\operatorname{RCD}(-1,2n)$ 空間である。

正準距離（Theorem 1.2）

所定のplurisubharmonicな対数密度条件を満たす各Kähler currentは、元の空間と同相なcompact noncollapsed RCD空間となる正準距離を定める。

基本群（Theorem 1.3）

$(X,\Delta)$ がlog canonicalで $-(K_X+\Delta)$ がnefなら、$\pi_1(X)$ はalmost Abelianである。特にcompact klt Kähler Calabi–Yau空間に適用できる。

証明の見取り図

Ricci entropyの $L\log L$ 制御で従来の近似判定に必要だった二次曲率評価を置き換え、固有関数の対数勾配とcapacityを制御する。局所正則化、weighted holomorphic section、density gapを組み合わせてcompletionの位相と複素構造を同定する。

原論文との対応