複素微分幾何学 · 2026-09-23
Kähler Rigidity for Constant Chern Holomorphic Sectional Curvature
定Chern正則断面曲率に対するKähler剛性 Xiangsen Qin, Yuanhong Tian xiangsen-qin-wzjx4o yuanhong-tian-jd5zo6 curvature kahler-einstein-metrics uniformization Kähler–Einstein metrics ケーラー・アインシュタイン計量 Curvature geometry 曲率幾何 Uniformization 一意化 Kähler Einstein Kahler Einstein Kähler-Einstein Kahler-EinsteinarXiv Abstract
We prove two rigidity theorems for compact Hermitian manifolds with constant Chern holomorphic sectional curvature. On a manifold in Fujiki's class $\mathcal C$, every Hermitian metric of constant nonpositive Chern holomorphic sectional curvature is Kähler, without a balanced or pluriclosed assumption. In the negative case, the manifold is projective with ample canonical bundle, and the given metric is the normalized negative Kähler--Einstein metric, with complex hyperbolic universal cover. In the zero case, the metric is flat and the manifold admits a finite étale cover by a complex torus. We also prove that a compact balanced threefold of constant positive Chern holomorphic sectional curvature is holomorphically isometric to complex projective three-space with a scaled Fubini--Study metric. The nonpositive argument uses an integrated Chern--Lu identity on a Kähler background. For negative curvature, a lower bound for twisted Kähler--Einstein volumes yields canonical ampleness, and weighted Stokes identities and volume-ratio moment inequalities identify the given metric. At zero curvature, a tensor Bochner argument gives parallelness on a Ricci-flat background. For balanced threefolds, differential compatibility and the torsion energy identities yield a coercive estimate, proved by a rational matrix decomposition valid at every torsion rank.
日本語要約
定Chern正則断面曲率を持つコンパクトHermitian多様体の剛性を扱う。Fujiki classでは非正曲率の計量が追加のbalanced条件やpluriclosed条件なしにKählerとなる。負曲率なら標準化された負Kähler–Einstein計量と複素双曲普遍被覆が得られ、零曲率なら計量は平坦で有限étaleトーラス被覆を持つ。正曲率についてはbalanced複素三次元多様体がFubini–Study計量を持つ $\mathbb P^3$ に限られる。
We prove two rigidity theorems for compact Hermitian manifolds with constant Chern holomorphic sectional curvature. On a manifold in Fujiki's class $\mathcal C$, every Hermitian metric of constant nonpositive Chern holomorphic sectional curvature is Kähler, without a balanced or pluriclosed assumption. In the negative case, the manifold is projective with ample canonical bundle, and the given metric is the normalized negative Kähler--Einstein metric, with complex hyperbolic universal cover. In the zero case, the metric is flat and the manifold admits a finite étale cover by a complex torus. We also prove that a compact balanced threefold of constant positive Chern holomorphic sectional curvature is holomorphically isometric to complex projective three-space with a scaled Fubini--Study metric. The nonpositive argument uses an integrated Chern--Lu identity on a Kähler background. For negative curvature, a lower bound for twisted Kähler--Einstein volumes yields canonical ampleness, and weighted Stokes identities and volume-ratio moment inequalities identify the given metric. At zero curvature, a tensor Bochner argument gives parallelness on a Ricci-flat background. For balanced threefolds, differential compatibility and the torsion energy identities yield a coercive estimate, proved by a rational matrix decomposition valid at every torsion rank.
Fujiki classのコンパクト複素多様体上で、非正の定Chern正則断面曲率を持つHermitian計量そのものがKählerであることを示す。負の場合は複素双曲一意化、零の場合は平坦性と有限étaleトーラス被覆を得て、正の場合にもbalanced三次元で射影空間への剛性を証明する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.25762
- 著者: Xiangsen Qin, Yuanhong Tian
- 初回投稿日: 2026-09-22
- 最終更新日: 2026-09-22
- 主分類・副分類: math.DG, math.CV
- ライセンス: CC BY-SA 4.0
要約
Fujiki classのコンパクト複素多様体上で、非正の定Chern正則断面曲率を持つHermitian計量そのものがKählerであることを示す。負の場合は複素双曲一意化、零の場合は平坦性と有限étaleトーラス被覆を得て、正の場合にもbalanced三次元で射影空間への剛性を証明する。
定Chern正則断面曲率を持つコンパクトHermitian多様体の剛性を扱う。Fujiki classでは非正曲率の計量が追加のbalanced条件やpluriclosed条件なしにKählerとなる。負曲率なら標準化された負Kähler–Einstein計量と複素双曲普遍被覆が得られ、零曲率なら計量は平坦で有限étaleトーラス被覆を持つ。正曲率についてはbalanced複素三次元多様体がFubini–Study計量を持つ $\mathbb P^3$ に限られる。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
定Chern正則断面曲率を持つコンパクトHermitian多様体の剛性を扱う。Introductionは従来結果の到達点と、本論文が解く未解決部分を区別して位置付ける。
主結果
非正曲率の場合（Theorem A）
$X$ を次元 $n\ge2$ のFujiki classのコンパクト複素多様体、$h$ を $H_h\equiv c\le0$ を満たすHermitian計量とすると、$h$ はKählerである。$c<0$ なら $K_X$ はampleで、$a=(n+1)c/2$ として
$$\operatorname{Ric}^{(1)}_h=a\omega_h,\qquad [\omega_h]=\frac{2\pi}{-a}c_1(K_X)$$
を満たし、普遍被覆は曲率 $c$ の複素双曲空間である。$c=0$ なら平坦Kählerで、有限étaleトーラス被覆を持つ。
正曲率のbalanced三次元（Theorem B）
コンパクトbalanced三次元多様体で $H_h\equiv c>0$ なら、$(X,h)$ は適切にscaleしたFubini–Study計量を備えた $\mathbb P^3$ と正則等長である。
証明の見取り図
非正の場合はKähler背景上の積分Chern–Lu恒等式、twisted Kähler–Einstein体積の下界、重み付きStokes恒等式を組み合わせる。零曲率ではRicci-flat背景上のtensor Bochner法を使い、正のbalanced三次元ではtorsion energyをcoerciveに評価してtorsionを消す。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.25762
- Introduction: Section 1, pp. 2–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems A and B
- 確認したarXivバージョン: 2609.25762v1
- 確認したライセンス: CC BY-SA 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction