複素微分幾何学 · 2026-09-22

Kähler-Einstein cone metrics and parabolic bundles

Kähler–Einstein錐計量とparabolic束

Martin de Borbon

martin-de-borbon-d22t0d kahler-einstein-metrics vector-bundles-sheaves stability chern-classes Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Kähler–Einstein metrics ケーラー・アインシュタイン計量 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Kähler Einstein Kahler Einstein Kähler-Einstein Kahler-Einstein Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

Let $X$ be a compact Kähler manifold, let $D=\sum_iD_i$ be a simple normal crossing divisor, and fix $β_i\in(0,1)$. We introduce a parabolic structure $TX_*$ on $TX$, given along each $D_i$ by the filtration $0\subset TD_i\subset TX|_{D_i}$ with weight $w_i=1-β_i$ on the normal quotient. If $X\setminus D$ carries a Kähler--Einstein metric $ω$ with cone angle $2πβ_i$ along $D_i$, we show that $TX_*$ is parabolic polystable with respect to $[ω]$. When the Einstein constant $λ$ is non-zero, we introduce parabolic structures on the Tian extension ($λ>0$) and on Simpson's canonical Higgs bundle ($λ<0$), and prove that these are polystable too. Combined with the Bogomolov--Gieseker inequality for parabolic bundles, this yields a Miyaoka--Yau inequality for these pairs.

日本語要約

単純正規交差因子に沿って錐角を持つKähler–Einstein計量から、接束に自然なparabolic構造を入れ、そのparabolic多重安定性を証明する。Einstein定数が正ならTian拡大、負ならSimpsonの標準Higgs束にもparabolic構造を入れて多重安定性を得る。これをparabolic Bogomolov–Gieseker不等式と組み合わせ、実数係数境界を許すMiyaoka–Yau不等式を導く。

Let $X$ be a compact Kähler manifold, let $D=\sum_iD_i$ be a simple normal crossing divisor, and fix $β_i\in(0,1)$. We introduce a parabolic structure $TX_*$ on $TX$, given along each $D_i$ by the filtration $0\subset TD_i\subset TX|_{D_i}$ with weight $w_i=1-β_i$ on the normal quotient. If $X\setminus D$ carries a Kähler--Einstein metric $ω$ with cone angle $2πβ_i$ along $D_i$, we show that $TX_*$ is parabolic polystable with respect to $[ω]$. When the Einstein constant $λ$ is non-zero, we introduce parabolic structures on the Tian extension ($λ>0$) and on Simpson's canonical Higgs bundle ($λ<0$), and prove that these are polystable too. Combined with the Bogomolov--Gieseker inequality for parabolic bundles, this yields a Miyaoka--Yau inequality for these pairs.

単純正規交差因子に沿うKähler–Einstein錐計量から接束、Tian拡大、標準Higgs束のparabolic多重安定性を導く。結果として対 $(X,\Delta)$ の明示的なChern類に対するMiyaoka–Yau不等式を証明する。

arXiv
2609.24597v1
初回投稿日
2026-09-21
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

単純正規交差因子に沿うKähler–Einstein錐計量から接束、Tian拡大、標準Higgs束のparabolic多重安定性を導く。結果として対 $(X,\Delta)$ の明示的なChern類に対するMiyaoka–Yau不等式を証明する。

単純正規交差因子に沿って錐角を持つKähler–Einstein計量から、接束に自然なparabolic構造を入れ、そのparabolic多重安定性を証明する。Einstein定数が正ならTian拡大、負ならSimpsonの標準Higgs束にもparabolic構造を入れて多重安定性を得る。これをparabolic Bogomolov–Gieseker不等式と組み合わせ、実数係数境界を許すMiyaoka–Yau不等式を導く。

主結果の仮定と結論を区別し、以下ではAbstractとIntroductionに明記された範囲だけを扱う。後続節の証明を独立に検証したものではない。

背景と問題設定

滑らかなコンパクトKähler–Einstein多様体では接束が多重安定であり、正負のEinstein定数に応じたTian拡大やSimpson Higgs束からMiyaoka–Yau不等式が得られる。本論文はこの図式を単純正規交差因子に沿う任意実錐角へ移す。

主結果

多重安定性（Theorems A–C）

$D=\sum D_i$、$w_i=1-\beta_i$ とし、$X\setminus D$ 上に角度 $2\pi\beta_i$ のKähler–Einstein錐計量 $\omega$ があるとする。接束のnormal方向にweight $w_i$ を置いた $TX_*$ は $[\omega]$ に関してparabolic多重安定である。$\operatorname{Ric}(\omega)=\lambda\omega$ で $\lambda>0$ ならTian拡大が、$\lambda<0$ なら $\mathcal O_X\oplus TX$ の標準Higgs束が対応するparabolic構造の下で多重安定となる。

Miyaoka–Yau不等式（Theorem D）

$n\ge2$ なら

$$\bigl(2(n+1)c_2(X,\Delta)-n c_1(X,\Delta)^2\bigr)\cdot[\omega]^{n-2}\ge0$$

が成り立つ。

証明の見取り図

錐計量に一様適合するHermitian計量について、飽和部分層の解析的degreeとparabolic degreeを同一視するChern–Weil公式を確立する。これをHermitian–Einstein接続へ適用して各束の多重安定性を示し、parabolic Chern類を計算してBogomolov–Gieseker不等式へ代入する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.24597
  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems A, B, C, D
  • 確認したarXivバージョン: 2609.24597v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction