複素微分幾何学 · 2026-08-11

The canonical submersion of $\mathcal{S}$-manifolds and transverse Kähler-Einstein structures

$\mathcal{S}$-多様体の標準沈め込みと横断的Kähler–Einstein構造

Ioannis Chrysikos

ioannis-chrysikos-gp9bgx kahler-einstein-metrics curvature Kähler–Einstein metrics ケーラー・アインシュタイン計量 Curvature geometry 曲率幾何 Kähler Einstein Kahler Einstein Kähler-Einstein Kahler-Einstein

arXiv Abstract

This paper is devoted to the study of the holonomy properties of $(2n+s)$-dimensional $\mathcal{S}$-manifolds equipped with their characteristic connection. These structures generalize Sasakian geometry to higher CR-codimensions and, when viewed as geometries with parallel skew-torsion, share many holonomy features with the Sasakian case. We show that $\mathcal{S}$-manifolds of arbitrary CR-codimension $s\geq 1$ provide examples of geometries with parallel skew-torsion whose holonomy is reducible, indecomposable, and of special type. We also deduce that any $\mathcal{S}$-manifold admits a locally defined Riemannian submersion over a Kähler manifold. We describe the corresponding curvature relations and establish a bijective correspondence between the Kähler-Einstein condition on the base space and a generalized $η$-Einstein condition on the total space. As every $\mathcal{S}$-manifold comes with a characteristic foliation whose transverse geometry is Kähler, it is natural to relate the $η$-Einstein condition to the transverse metric, leading to a bijection between $η$-Einstein $\mathcal{S}$-manifolds and transverse Kähler-Einstein metrics, extending the classical Sasakian correspondence to arbitrary CR-codimensions. As an application to Ricci-flat metric connections with parallel skew-torsion, we prove that an $\mathcal{S}$-manifold is ${\rm Ric}^{\nabla}$-flat if and only if it is transverse Kähler-Einstein with Einstein constant $λ=4s$. An illustration of this characterization is presented by a Sasakian example.

日本語要約

$2n+s$ 次元の $\mathcal S$-多様体を、平行な完全反対称torsionを持つ幾何として研究する。特性接続のholonomyが可約だが分解不能な特殊型であることを示し、局所的にKähler多様体への標準Riemann沈め込みを構成する。基底のKähler–Einstein条件、全空間の一般化η-Einstein条件、横断的Kähler–Einstein条件の対応を確立し、特性接続のRicci平坦性が横断Einstein定数 $4s$ と同値であることを導く。

This paper is devoted to the study of the holonomy properties of $(2n+s)$-dimensional $\mathcal{S}$-manifolds equipped with their characteristic connection. These structures generalize Sasakian geometry to higher CR-codimensions and, when viewed as geometries with parallel skew-torsion, share many holonomy features with the Sasakian case. We show that $\mathcal{S}$-manifolds of arbitrary CR-codimension $s\geq 1$ provide examples of geometries with parallel skew-torsion whose holonomy is reducible, indecomposable, and of special type. We also deduce that any $\mathcal{S}$-manifold admits a locally defined Riemannian submersion over a Kähler manifold. We describe the corresponding curvature relations and establish a bijective correspondence between the Kähler-Einstein condition on the base space and a generalized $η$-Einstein condition on the total space. As every $\mathcal{S}$-manifold comes with a characteristic foliation whose transverse geometry is Kähler, it is natural to relate the $η$-Einstein condition to the transverse metric, leading to a bijection between $η$-Einstein $\mathcal{S}$-manifolds and transverse Kähler-Einstein metrics, extending the classical Sasakian correspondence to arbitrary CR-codimensions. As an application to Ricci-flat metric connections with parallel skew-torsion, we prove that an $\mathcal{S}$-manifold is ${\rm Ric}^{\nabla}$-flat if and only if it is transverse Kähler-Einstein with Einstein constant $λ=4s$. An illustration of this characterization is presented by a Sasakian example.

Sasaki幾何を高いCR余次元へ拡張する $\mathcal S$-多様体について、平行歪みtorsionを持つ特性接続のholonomyと標準沈め込みを調べる。基底および横断方向のKähler–Einstein条件を全空間の一般化η-Einstein条件と対応させ、特性接続のRicci平坦性を特徴づける。

arXiv
2608.08072v1
初回投稿日
2026-08-08
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

完全反対称torsionを持つ計量接続はLevi-Civita接続と同じ測地線を保ちながら、非可積分な幾何構造に適合する。$\mathcal S$-多様体はSasaki多様体（$s=1$）をCR余次元 $s\ge1$ へ一般化し、特性接続

$$ \nabla=\nabla^g+\frac12T,\qquad T=\sum_{i=1}^s\eta_i\wedge d\eta_i $$

を自然に備える。

本論文はこの特性接続のholonomyが可約でありながら、torsion付き幾何の局所積へは分解できないことを示す。また接束の水平・垂直分解から、任意の $\mathcal S$-多様体にKähler多様体を基底とする局所Riemann沈め込みを構成する。

この沈め込みの曲率公式により、基底のKähler–Einstein条件と全空間の一般化η-Einstein条件が一対一に対応する。さらに特性葉層の横断Kähler幾何を介して、η-Einstein $\mathcal S$-構造と横断的Kähler–Einstein計量が対応し、Sasaki幾何の古典的関係が任意のCR余次元へ拡張される。

背景と問題設定

平行歪みtorsionを持つ接続では、holonomy表現が可約でもde Rham分解定理のような局所積分解は一般に成立しない。本論文は $TM=\mathcal D\oplus\mathcal D^\perp$ をtorsionの安定化代数 $\mathfrak u(n)$ による標準分解として読み替え、垂直分布 $\mathcal D^\perp=\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle$ に沿う特性葉層と水平Kähler幾何を結ぶ。

コンパクト正則の場合、標準沈め込みは主トーラス束になるが、主要な対応は局所的沈め込みおよび横断幾何の言葉でも定式化される。

主結果

Holonomyと標準沈め込み（Theorem 4.12ほか）

$\mathcal S$-多様体の特性接続は平行torsionを持ち、そのholonomyは可約だが幾何は分解不能で、special typeに属する。標準 $\mathfrak u(n)$-分解から局所沈め込み

$$ \pi:M^{2n+s}\longrightarrow N^{2n} $$

が得られ、ファイバーは全測地的、基底 $N$ はKählerとなる。

η-Einstein条件と横断Kähler–Einstein条件（Theorem 4.23）

Introductionでは概略として次のように述べられている。基底 $N$ がKähler–Einsteinであることと、全空間 $M$ が一般化η-Einstein条件を満たすことは同値である。さらにη-Einstein $\mathcal S$-構造は特性葉層の横断Kähler–Einstein計量と一対一に対応する。

特性接続のRicci平坦性

特性接続について $\operatorname{Ric}^{\nabla}=0$ であることは、横断Kähler計量がEinstein定数

$$ \lambda=4s $$

を持つことと同値である。これは奇次元のSasakiの場合だけでなく、$\mathcal S$-構造が存在する偶数次元も含む。

証明の見取り図

torsion $T$ の安定化代数と $f$-構造が与える水平・垂直分解を比較し、標準沈め込み理論を適用する。次にO'Neill型の曲率関係と特性接続・Levi-Civita接続・横断接続のRicciテンソルの関係を計算し、基底のEinstein条件を全空間のη方向を含む式へ翻訳する。最後に横断計量との同一視を通じて、Ricci平坦条件を定数 $4s$ の横断Kähler–Einstein条件へ還元する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2608.08072
  • Introduction: Sections 1.1–1.5, pp. 1–6（主要結果の概観は1.2, pp. 2–4）
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorems 4.12, 4.14, 4.23; $\operatorname{Ric}^{\nabla}$-flat characterization
  • 論文構成の説明: Section 1.2, p. 4
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction