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Hyperkähler geometry
Hyperkähler/irreducible holomorphic symplectic manifolds, fibrations, sheaves, or Torelli phenomena are central.
27件の論文
27 件
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Picard群がnefなparabolic線束で生成される超Kähler四次元多様体で、非消滅から半豊富性を導く論文である。特異Lagrange部分多様体の変形・平滑化と切断の延長を組み合わせ、Lagrangeファイブレーションを構成する。任意偶数次元でも、一定の正規交叉Lagrange部分多様体をファイバーとして実現する定理を与える。
滑らかなDebarre–Voisin四次元多様体について、Grassmann多様体から制限されるChow環を二つの生成元と関係式で記述する。この部分環上のサイクル類写像の単射性から、Picard数1の場合、特にvery generalな場合のBeauville–Voisin予想を証明する。
商特異点をもつFano多様体について、アーベル多様体からの全射と慣性スタック上の最高Chern類の消滅から、射影空間の積であることを示す。応用として、コンパクトhyper-Kähler多様体のLagrangianファイブレーションの底空間が商特異点をもつなら、それは射影空間となる。
滑らかなコンパクト既約超Kähler六次元多様体について、第二Betti数が23以下であることを無条件に示す。大きい第二Betti数の下での奇数次コホモロジーの消滅や、第二Chern類が第二コホモロジーの生成部分に入る場合の数値的制約も得る。
固定したKummer K3曲面の小パラメータ族のKähler類について、Calabi–Yau計量のポテンシャルを収束する再帰級数で表す。背景Green作用素とMonge–Ampère方程式の二次項を明示し、Catalan数による評価で例外曲線を含む曲面全体での収束を示す。
コンパクト既約hyperkähler多様体のnef線束は半豊富であると主張し、非自明な等方的線束からLagrangianファイブレーションを得る。metric SYZの結果で構成されるspecial Lagrangianトーラスを、退化に由来するコホモロジー類の条件を使って正則トーラスへ回転させることが鍵となる。
K3曲面とEnriques曲面上のRicci-flat Kähler計量が、体積を失わず同じ平坦orbifoldへ収束する例を構成する。従って、直径と体積を制御してもGromov–Hausdorff距離が近いだけでは基本群の一致は保証されない。局所hyperkählerな四次元多様体の別の基本群の組合せも扱う。
primitive symplectic多様体のLagrangianファイブレーションについて、非常に一般のファイバーのMumford–Tate群を分類する。非等自明な場合には底のspecial Kähler計量の正の正則断面曲率を導き、判別集合が余次元1であることも示す。第二Betti数が7以上の一般のhyper-Kähler変形では、ファイバーがHodge-genericとなる。
正標数の超特異既約symplectic多様体について、標数0への適切な持ち上げを仮定し、既知の変形型のChow motiveを決定する。これらの積に対して全次数の$\ell$進およびcrystalline cycle class mapの全射性を得る。
滑らかな有理曲面から自己交叉零の反標準楕円曲線を除いた空間上に、完備ALH hyperkähler計量を構成する。逆に任意のhyperkähler ALH重力instantonを、各誘導複素構造についてそのような反標準楕円曲線でcompactifyできることを示す。
Picard数1の非常に一般の偏極K3曲面上で、任意の非自明な有限位数Brauer類をエタール局所自明な射影空間束として具体化する。その束をねじれ層のモジュライ空間における超Kähler収縮の例外軌跡へ組み込み、次元も制御することで、既知の個別構成を統一しperiod-index定理の新しい証明を与える。
コンパクト超Kähler多様体から$\mathbb{CP}^n$へのLagrangian fibrationが余次元1で重複ファイバーを持たないことを示す。これは超平面の逆像の基本類が整数コホモロジーでprimitiveであることと結び付き、楕円K3曲面で知られた非重複性を高次元化する。
奇数次数の固定行列式を持つ階数2・跡零Higgs束のモジュライ空間について、Hitchin計量の大球の体積漸近を係数まで決定する。実次元$12g-12$に対して体積増大次数が$6g-6$となる現象を、Hitchin系の基底方向とPrymファイバー方向の異なるスケールから説明する。
hyperfujiki多様体について、BBF正値性とMoishezon性を結ぶ判定法を与える。4次元ではBBF平方が正の整 $(1,1)$-類の存在がMoishezon性と同値であり、族のMoishezon locusにも応用される。
超Kähler錐に漸近する代数的超Kähler構造のモジュライを、三つのKähler類からなる周期で分類する。Kirwan写像の全射性などの仮定の下で周期写像の全単射性を示し、KronheimerのALE重力インスタントンのTorelli型定理をトーリック超Kähler多様体や中島箙多様体へ拡張する。
Picard数の大きいK3曲面をアーベル曲面と結ぶOda--Morrison型の対応を、射影的な$K3^{[n]}$型超Kähler多様体へ拡張する。超越格子が$U^3$へ有理的に埋め込めるという仮定の下で、超越Hodge構造を同一視するアーベル多様体との代数的対応を構成する。
二次曲率減衰をもつ完備非コンパクト4次元Ricci平坦多様体を重力インスタントンとして定義し、Weyl曲率による三類型の観点から近年の分類を概説する。hyperkähler型とHermitian型の分類、調和写像による非Hermitian例の構成、および未解決問題を結び付ける。
代数次元ゼロのコンパクトKähler多様体を、Kummer型と単純多様体から組み立てる条件付き分類を与える。中心となる変形不変性の予想の下でMRC商に双有理的Bogomolov分解を与え、無条件には厳密単純な4次元多様体が単純トーラスのエタール商または既約hyperkähler多様体であることを示す。
同じKähler多様体列がCalabi–Yau極限を一つ持つなら、別の複素多様体極限もKählerであることを変形理論とHodge理論から示す。Weil–Petersson距離とBeltrami微分の比較を核に、K3曲面のKähler性、bounded periodを持つhyperkähler極限、K3上の安定層モジュライへ応用する。
Hilb$^n$(K3)型および一般化Kummer型の偏極hyperkähler多様体について、一般点の偏極がいつ基点自由または非常に豊富になるかを調べる。偏極の平方・divisibilityに明示的な下界を与え、モジュライ空間の連結性と非空性も扱う。
$c_1=0$を満たすコンパクトklt Kähler多様体が、有限quasi-étale被覆の後に複素トーラス、既約Calabi--Yau多様体、既約holomorphic symplectic多様体の積へ分解する定理を解説する講義録である。滑らかな場合のholonomy論が特異点上で直接使えない障害と、それを層の安定性・葉層の代数的可積分性で克服する道筋を示す。
非非有理曲線被覆なコンパクトKähler klt対について、Euler–Poincaré標数が非零で数値次元1なら随伴束の非消滅を示す。さらにK自明多様体とhyperkähler多 様体で、nefだがbigでない直線束の非消滅・半豊富性とLelong成分の幾何を明らかにする。
正則シンプレクティック多様体から孤立商特異点をもつ正規解析空間への射影的Lagrangianファイブレーションの芽を考え、その底空間が実は滑らかであることを示す。特にhyperkä hler四次元多様体から正規曲面へのLagrangianファイブレーションの底が $\mathbb P^2$ であるという既知結果に別証明を与える。
Beauville形式が等方類を持つ6次元hyper-Kähler多様体について、Fujiki定数とHuybrechts–Riemann–Roch多項式に強い数値制約を与える。特定の交点数が$3!$または$2\cdot3!$となる場合を計算し、既知の変形型を特徴づけようとする予想へ迫る。
コンパクト hyperkähler 多様体の正則 Lagrangian ファイブレーションについて、判別集合外の基底に入る特殊 Kähler 計量を用い、極小有理曲線族上で基底の接束が非自明な平行分解を持つことを示す。この分解と Voisin、Hwang、Bakker–Schnell の結果を組み合わせ、基底が滑らかな場合に射影空間となる Hwang の定理へ新しい経路を与える。
超Kähler多様体の第二Chern類が第二コホモロジーから生成される部分代数に入る条件を、Riemann–Roch多項式の係数で特徴づける。係数間の正値性条件の下で第二Betti数の上限を与え、その等号成立がChern類の所属条件と一致する。
超Kähler多様体のRiemann–Roch多項式について、すべての係数が正であることを証明する。Todd genusの平方根をRozansky–Witten理論でLefschetz型分解し、Hodge–Riemann双線形関係へ結びつけることで、実効非消滅予想や多項式の狭義単調性への帰結を得る。