代数幾何学 · 2026-08-27
Lagrangian Fibrations onto Varieties with Isolated Quotient Singularities
孤立商特異点をもつ多様体上のLagrangianファイブレーション Niklas Müller, Zheng Xu niklas-muller-y26hlj zheng-xu-mijo9c hyperkahler-geometry singularities symplectic-contact-geometry Singularities 特異点・特異性 Hyperkähler geometry ハイパーケーラー幾何 Symplectic and contact geometry シンプレクティック・接触幾何arXiv Abstract
In this note, we show that if $f\colon M\rightarrow X$ is a germ of a projective Lagrangian fibration from a holomorphic symplectic manifold $M$ onto a normal analytic variety $X$ with isolated quotient singularities, then $X$ is smooth. In particular, if $f\colon M\rightarrow X$ is a Lagrangian fibration from a hyper-Kähler fourfold $M$ onto a normal surface $X$, then $X\cong \mathbb{P}^2$, which recovers a recent result of Huybrechts--Xu and Ou.
日本語要約
正則シンプレクティック多様体から孤立商特異点をもつ正規解析多様体への射影的Lagrangianファイブレーションの芽では、底空間は滑らかである。特にhyperkähler四次元多様 体から正規曲面へのLagrangianファイブレーションの底は $\mathbb P^2$ と同型である。
In this note, we show that if $f\colon M\rightarrow X$ is a germ of a projective Lagrangian fibration from a holomorphic symplectic manifold $M$ onto a normal analytic variety $X$ with isolated quotient singularities, then $X$ is smooth. In particular, if $f\colon M\rightarrow X$ is a Lagrangian fibration from a hyper-Kähler fourfold $M$ onto a normal surface $X$, then $X\cong \mathbb{P}^2$, which recovers a recent result of Huybrechts--Xu and Ou.
正則シンプレクティック多様体から孤立商特異点をもつ正規解析空間への射影的Lagrangianファイブレーションの芽を考え、その底空間が実は滑らかであることを示す。特にhyperkä hler四次元多様体から正規曲面へのLagrangianファイブレーションの底が $\mathbb P^2$ であるという既知結果に別証明を与える。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2508.04135
- 著者: Niklas Müller, Zheng Xu
- 主分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
正則シンプレクティック多様体のLagrangianファイブレーションでは、底空間の特異性と大域的分類が中心問題である。底が滑らかならhyperkählerの場合に射影空間になることが知られる一方、特異な底を排除することが難しい。
本論文は底が孤立商特異点だけをもつ局所状況で、それらが実際には存在せず底が滑らかになることを示す。四次元の場合は曲面の商特異点性が自動的に得られ、既知の $X\cong\mathbb P^2$ を別手法で回収する。
背景と問題設定
$2n$ 次元正則シンプレクティック多様体から $n$ 次元正規解析空間へのproper fibrationで、各ファイバー成分上にシンプレクティック形式が消えるものをLagrangianと呼ぶ。hyperkähler多様体の非自明なfibrationはMatsushitaの定理によりこの形になる。
主結果
Theorem 1.3
正則シンプレクティック多様体 $M$ から孤立商特異点のみをもつ正規解析多様体 $X$ への射影的Lagrangianファイブレーションの芽 $f:M\to X$ があれば、$X$ は滑らかである。
Corollary 1.4 と Theorem 1.5
$M$ が四次元で $X$ が正規曲面なら $X$ は滑らかである。六次元から正規三次元への場合も、$X$ がterminalなら滑らかになる。コンパクトhyperkähler四次元の場合には既知の分類と合わせて $X\cong\mathbb P^2$ を得る。
証明の見取り図
局所的に $X=X'/G$ と書き、正規化したファイバー積 $M'$ を作る。分岐軌跡の純性から $M'$ は滑らかで $M'\to M$ はétaleとなる。他方、Baum–Fulton–Quartの特異Lefschetz–Riemann–Roch公式とLagrangian fibrationの高次直像に関するMatsushita公式を用いると、$G$ の作用に固定点が存在する。これはétale性と矛盾し、商特異点を排除する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2508.04135
- Introduction: Section 1, pp. 1–3
- 確認したarXivバージョン: 2508.04135v2
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction