代数幾何学 · 2026-10-01

Supersingular Tate conjecture for irreducible symplectic varieties of known types: I

既知型既約symplectic多様体に対する超特異Tate予想I

Lie Fu, Xuanlin Huang, Zhiyuan Li

lie-fu-1ktoo46 xuanlin-huang-ot5ihp zhiyuan-li-140sacq hyperkahler-geometry positive-characteristic algebraic-cycles-enumerative Positive characteristic 正標数 Hyperkähler geometry ハイパーケーラー幾何 Algebraic cycles and enumerative geometry 代数的サイクル・数え上げ幾何

arXiv Abstract

We prove that for a supersingular irreducible symplectic variety admitting suitable lifting to characteristic zero has Tate Chow motive if it is of deformation type $K3^{[n]}$, OG6 (with Artin invariant $\neq$ 4), or OG10 (with Artin invariant $\neq$ 12), and has supersingular abelian Chow motive if it is of $\mathrm{Kum}^n$-type (with Artin invariant $\neq$ 3). In particular, any product of those irreducible symplectic varieties satisfies the supersingular Tate conjecture for the whole $\ell$-adic or crystalline cohomology ring.

日本語要約

正標数の超特異既約symplectic多様体について、標数0への適切な持ち上げを仮定し、既知の変形型のChow motiveを決定する。これらの積に対して全次数の$\ell$進およびcrystalline cycle class mapの全射性を得る。

We prove that for a supersingular irreducible symplectic variety admitting suitable lifting to characteristic zero has Tate Chow motive if it is of deformation type $K3^{[n]}$, OG6 (with Artin invariant $\neq$ 4), or OG10 (with Artin invariant $\neq$ 12), and has supersingular abelian Chow motive if it is of $\mathrm{Kum}^n$-type (with Artin invariant $\neq$ 3). In particular, any product of those irreducible symplectic varieties satisfies the supersingular Tate conjecture for the whole $\ell$-adic or crystalline cohomology ring.

正標数の超特異既約symplectic多様体について、標数0への適切な持ち上げを仮定し、既知の変形型のChow motiveを決定する。これらの積に対して全次数の$\ell$進およびcrystalline cycle class mapの全射性を得る。

arXiv
2609.38801v1
初回投稿日
2026-09-30
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

正標数のK3曲面に対する超特異Tate予想とTate型Chow motiveという結果を、高次元の既約symplectic多様体へ拡張する。対象は$K3^{[n]}$型、generalized Kummer型、OG6型、OG10型で、標数0へのexcellent liftingをもつものに限る。

$K3^{[n]}$, OG6, OG10型ではChow motiveがTate型となり、Kummer型では超特異abelian型となる。したがってそれらの積について、全cohomology classがalgebraic cycleから来る。

背景と問題設定

K3曲面ではArtin超特異性とPicard数最大というShioda超特異性がTate予想により一致する。高次元hyperkähler類似物では、cycle class mapの全射性とmotiveの構造を同時に問うFu–Li予想がある。

主結果

motiveの分類（Theorem 1.8）

$k$を標数$p>\dim X$の代数閉体とし、$X$をexcellentかつ超特異な既約symplectic多様体とする。$K3^{[n]}$型では$h(X)$はTate型である。$\mathrm{Kum}^n$型ではArtin invariant $\sigma_0\ne3$なら超特異abelian型、OG10型では$\sigma_0\ne12$、OG6型では$\sigma_0\ne4$ならTate型である。

超特異Tate予想（Theorem 1.9）

上記の多様体の任意の積$Y$に対し、全次数で

$$ \mathrm{CH}^(Y)\otimes\mathbb Q_\ell\longrightarrow H^{2}{\acute{e}t}(Y,\mathbb Q\ell) $$

およびcrystalline cycle class mapが全射である。

証明の見取り図

excellent lifting上に$\ell$進・crystalline Beauville–Bogomolov形式を構成し、modular interpretationを通じて超特異K3曲面またはabelian surfaceのmotiveへ比較する。除外された最大Artin invariantの場合は、この比較に必要な格子論的入力が失敗するため後続研究へ残される。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.38801
  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.8, 1.9
  • 論文構成の説明: Introduction末尾
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction