複素微分幾何学 · 2026-09-23
ALH Gravitational Instantons and Rational Surfaces
ALH重力instantonsと有理曲面 Yifan Chen, Chunhui Wei yifan-chen-10rqqoc chunhui-wei-1atkca2 hyperkahler-geometry noncompact-kahler-geometry Noncompact Kähler geometry 非コンパクトKähler幾何 Hyperkähler geometry ハイパーケーラー幾何arXiv Abstract
We construct complete ALH hyperkähler metrics on complements of anticanonical elliptic curves with zero self-intersection in smooth rational surfaces. This answers the existence question of Filip--Tosatti, related to the picture proposed by Haskins--Hein--Nordström. Conversely, we prove that every hyperkähler ALH gravitational instanton admits, for each induced complex structure, a compactification by an anticanonical elliptic curve in a rational surface.
日本語要約
ALH型の四次元hyperkähler重力instantonを複素曲面のcompactificationと結び付ける。自己交叉数零の滑らかな反標準楕円曲線を含む有理曲面の補集合に完備ALH hyperkähler計量を構成し、Filip–Tosattiの存在問題に答える。逆方向には、任意のhyperkähler ALH重力instantonが各誘導複素構造において有理曲面へcompactifyされ、付加される因子が反標準楕円曲線となることを証明する。
We construct complete ALH hyperkähler metrics on complements of anticanonical elliptic curves with zero self-intersection in smooth rational surfaces. This answers the existence question of Filip--Tosatti, related to the picture proposed by Haskins--Hein--Nordström. Conversely, we prove that every hyperkähler ALH gravitational instanton admits, for each induced complex structure, a compactification by an anticanonical elliptic curve in a rational surface.
滑らかな有理曲面から自己交叉零の反標準楕円曲線を除いた空間上に、完備ALH hyperkähler計量を構成する。逆に任意のhyperkähler ALH重力instantonを、各誘導複素構造についてそのような反標準楕円曲線でcompactifyできることを示す。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.26439
- 著者: Yifan Chen, Chunhui Wei
- 初回投稿日: 2026-09-22
- 最終更新日: 2026-09-22
- 主分類・副分類: math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
滑らかな有理曲面から自己交叉零の反標準楕円曲線を除いた空間上に、完備ALH hyperkähler計量を構成する。逆に任意のhyperkähler ALH重力instantonを、各誘導複素構造についてそのような反標準楕円曲線でcompactifyできることを示す。
ALH型の四次元hyperkähler重力instantonを複素曲面のcompactificationと結び付ける。自己交叉数零の滑らかな反標準楕円曲線を含む有理曲面の補集合に完備ALH hyperkähler計量を構成し、Filip–Tosattiの存在問題に答える。逆方向には、任意のhyperkähler ALH重力instantonが各誘導複素構造において有理曲面へcompactifyされ、付加される因子が反標準楕円曲線となることを証明する。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
ALH型の四次元hyperkähler重力instantonを複素曲面のcompactificationと結び付ける。Introductionは従来結果の到達点と、本論文が解く未解決部分を区別して位置付ける。
主結果
存在定理
$Y$ を滑らかな有理曲面、$D\in|-K_Y|$ を $D^2=0$ の滑らかな楕円曲線とすると、$Y\setminus D$ 上に完備ALH hyperkähler計量が存在する。
Compactification定理
任意のhyperkähler ALH重力instantonと、そのtwistor sphere上の各誘導複素構造に対して、ある滑らかな有理曲面 $Y$ と反標準楕円曲線 $D$ が存在し、複素多様体として $X\cong Y\setminus D$ となる。Introductionではこの二方向が主定理として提示される。
証明の見取り図
存在方向では楕円曲線近傍のALH modelとglobal Kähler classを整合させ、非コンパクトCalabi–Yau型方程式を解いてhyperkähler計量を得る。逆方向ではALH漸近構造から楕円曲線を付加し、延長された正則二形式と曲面分類を用いてcompactificationが有理曲面で反標準因子を持つことを示す。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.26439
- Introduction: Section 1, pp. 1–4
- Introduction中で言及された主要定理番号: Introductionの存在定理・compactification定理
- 確認したarXivバージョン: 2609.26439v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction