代数幾何学 · 2026-08-28

Beauville--Bogomolov--Fujiki positivity and Moishezonness of complex symplectic manifolds in Fujiki class $\mathscr C$

BBF正値性と複素シンプレクティック多様体のMoishezon性

Jian Chen

jian-chen-auoqc9 positivity hyperkahler-geometry birational-geometry hodge-theory Birational geometry 双有理幾何 Positivity 正値性 Hyperkähler geometry ハイパーケーラー幾何 Hodge theory ホッジ理論

arXiv Abstract

Motivated by the principle that positivity of the Beauville--Bogomolov--Fujiki (BBF) form controls the geometry of hyperkähler manifolds, we study BBF positivity from the perspective of bimeromorphic geometry, focusing on its relation to the Moishezonness of hyperfujiki manifolds (natural bimeromorphic analogues of hyperkähler manifolds). We prove that any Moishezon hyperfujiki manifold carries a big line bundle with positive BBF square. We also prove that the existence of a BBF-positive integral $(1,1)$-class implies Moishezonness for hyperfujiki $4$-folds and, more generally, for hyperfujiki $2n$-folds under a weak Kähler minimal-model condition. The proof mainly uses the theory of primitive symplectic varieties developed by B. Bakker--C. Lehn, a construction of small bimeromorphic models for certain $K$-trivial manifolds by I. Biswas--J. Cao--S. Dumitrescu--H. Guenancia, and the theory of pull-backs of reflexive differential forms established by S. Kebekus--C. Schnell. As an application, we give a Hodge-theoretic description of the Moishezon locus in certain smooth families by combining this criterion with the period theory developed by B. Anthes--A. Cattaneo--S. Rollenske--A. Tomassini.

日本語要約

hyperfujiki多様体のMoishezon性をBBF形式の正値性から捉える。Moishezon性から正のBBF平方をもつbig line bundleを構成し、4次元および弱いKähler極小モデル条件下の高次元で逆も示す。

Motivated by the principle that positivity of the Beauville--Bogomolov--Fujiki (BBF) form controls the geometry of hyperkähler manifolds, we study BBF positivity from the perspective of bimeromorphic geometry, focusing on its relation to the Moishezonness of hyperfujiki manifolds (natural bimeromorphic analogues of hyperkähler manifolds). We prove that any Moishezon hyperfujiki manifold carries a big line bundle with positive BBF square. We also prove that the existence of a BBF-positive integral $(1,1)$-class implies Moishezonness for hyperfujiki $4$-folds and, more generally, for hyperfujiki $2n$-folds under a weak Kähler minimal-model condition. The proof mainly uses the theory of primitive symplectic varieties developed by B. Bakker--C. Lehn, a construction of small bimeromorphic models for certain $K$-trivial manifolds by I. Biswas--J. Cao--S. Dumitrescu--H. Guenancia, and the theory of pull-backs of reflexive differential forms established by S. Kebekus--C. Schnell. As an application, we give a Hodge-theoretic description of the Moishezon locus in certain smooth families by combining this criterion with the period theory developed by B. Anthes--A. Cattaneo--S. Rollenske--A. Tomassini.

hyperfujiki多様体について、BBF正値性とMoishezon性を結ぶ判定法を与える。4次元ではBBF平方が正の整 $(1,1)$-類の存在がMoishezon性と同値であり、族のMoishezon locusにも応用される。

arXiv
2608.26302v1
初回投稿日
2026-08-26
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

hyperkähler多様体ではBeauville–Bogomolov–Fujiki（BBF）形式の正値性が射影性を特徴づける。本論文はこの原理を双有理的な非Kähler状況へ移し、hyperfujiki多様体のMoishezon性との関係を調べる。

Moishezon hyperfujiki多様体がBBF平方正の第一Chern類をもつbig line bundleを備えることを示す。逆向きは4次元では無条件に、高次元では弱いKähler極小モデル条件の下で成立する。

さらにこの判定法と周期写像を組み合わせ、適切な滑らかな族におけるMoishezon locusが全体か、高々可算個の超曲面の和になることを示す。

背景と問題設定

非Kähler Moishezon多様体にはKähler類がなく、Demailly–Păun類も存在しない場合がある。またbig line bundleのBBF平方は負にもなり得る。このため、既存のhyperkähler射影性判定をそのまま移すことはできない。

主結果

Moishezon性からBBF正値性へ（Theorem 1.1）

hyperfujiki $2n$-fold $Y$ がMoishezonなら、big line bundle $L_Y$ で

$$ q_Y(c_1(L_Y))>0 $$

を満たすものが存在する。

BBF判定（Theorem 1.2）

$Y$ がhyperfujiki 4-fold、または弱い条件 $(\mathrm{KMM}_{0,2n})$ を満たすhyperfujiki $2n$-fold（$n\geq3$）なら、

$$ Y ext{ is Moishezon}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists v\in H^2(Y,\mathbb Z)\cap H^{1,1}(Y),\ q_Y(v)>0 $$

が成り立つ。

族のMoishezon locus（Theorem 1.3）

Introductionに列挙された仮定を満たすproper holomorphic submersion $f:\mathcal X o S$ では、Moishezon locus は $S$ 全体か、高々可算個の超曲面の和である。

証明の見取り図

Moishezonな $Y$ からsmall bimeromorphic map $Y\dashrightarrow X$ を通じて射影的primitive symplectic variety $X$ を作り、$X$ 上のample line bundleを $Y$ に運ぶ。共通解消上で境界因子に沿うシンプレクティック形式の冪の消滅を示し、両者のBBF平方を正定数倍まで比較する。逆向きにはsmall model上のBakker–Lehnの射影性判定を用いる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2608.26302
  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • 主要定理: Theorems 1.1–1.3
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • source_scope: Abstract and Introduction