代数幾何学 · 2026-11-07

Fundamental groups, coregularity, and low dimensional klt Calabi-Yau pairs

絶対coregularityによるklt対の基本群の制御

Lukas Braun, Fernando Figueroa

lukas-braun-ogdaon fernando-figueroa-11esw9s fundamental-groups singularities calabi-yau-geometry minimal-model-program Singularities 特異点・特異性 Minimal model program 極小モデル・プログラム Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何 Fundamental groups 基本群

arXiv Abstract

In this article, we study how the absolute coregularity of a projective log pair reflects on its fundamental group. More precisely, we conjecture that for a projective klt log pair $(X,D)$ of absolute coregularity $c$ (and arbitrary dimension) the fundamental group $\pi_1^{\rm reg}(X,D)$ admits a normal abelian subgroup of finite index and rank at most $2c$. We prove this conjecture in the cases $0 \leq c \leq 3$, building on the almost abelianity of the fundamental groups of klt Calabi-Yau pairs of dimension $\leq 3$. In the cases $c \in \{0,1,2\}$ and fixed dimension, we can furthermore bound the index of a solvable normal subgroup. In dimension three, we are able to prove almost abelianity of the fundamental group of the regular locus for projective klt Calabi-Yau pairs.

日本語要約

射影klt対の絶対coregularityが小さい場合、その正則部分のorbifold基本群は有限指数のアーベル部分群をもつ。coregularityが零なら有限、1から3ならアーベル部分群の階数はその値の2倍以下となる。論文は一般の次元からcoregularityと同じ次元への帰着、対に対するtorus cover、および3次元klt Calabi–Yau対の仮想アーベル性を示し、coregularityが2以下の場合には可解部分群の指数も制御する。

In this article, we study how the absolute coregularity of a projective log pair reflects on its fundamental group. More precisely, we conjecture that for a projective klt log pair $(X,D)$ of absolute coregularity $c$ (and arbitrary dimension) the fundamental group $\pi_1^{\rm reg}(X,D)$ admits a normal abelian subgroup of finite index and rank at most $2c$. We prove this conjecture in the cases $0 \leq c \leq 3$, building on the almost abelianity of the fundamental groups of klt Calabi-Yau pairs of dimension $\leq 3$. In the cases $c \in \{0,1,2\}$ and fixed dimension, we can furthermore bound the index of a solvable normal subgroup. In dimension three, we are able to prove almost abelianity of the fundamental group of the regular locus for projective klt Calabi-Yau pairs.

射影klt対の正則部分のorbifold基本群を、絶対coregularityから制御する。coregularityが3以下の場合に仮想アーベル性と階数上界を示し、その基礎として3次元klt Calabi–Yau対の基本群を扱う。

arXiv
2401.01315v3
初回投稿日
2024-01-02
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

滑らかなCalabi–Yau型の空間では、基本群の無限部分がアーベル多様体に由来するという構造がよく知られている。しかしklt特異点を許し、特異点を除いた正則部分の基本群を見ると、空間全体の基本群より複雑になり、同じ構造を示すことは容易ではない。

本論文は、対の絶対coregularityという不変量が、その基本群のアーベル部分の大きさを制御するという予想を考える。主要な帰着定理は、任意の次元の問題を、coregularityと等しい次元のklt Calabi–Yau対の問題へ移す。

この帰着と低次元の解析により、coregularityが零なら基本群は有限、1から3なら有限指数のアーベル部分群をもち、その階数はcoregularityの2倍以下となる。また、階数の制御と指数の一様な制御は別問題であることを明確にし、後者ではアーベル群より広い可解群を用いる。

背景と問題設定

$\pi_1^{\mathrm{reg}}(X,D)$ は、$X$ 全体の位相的基本群ではなく、正則部分 $X_{\mathrm{reg}}$ とその上の境界からなるorbifold対の基本群である。有限指数のアーベル部分群をもつことを仮想アーベル性という。

coregularityはlog Calabi–Yau構造の双対複体の次元と $X$ の次元との差を測る不変量であり、toricな状況では零となる。Conjecture 1は、絶対coregularityが $c$ の射影klt対について、$\pi_1^{\mathrm{reg}}(X,D)$ が仮想アーベルで階数が高々 $2c$ であると予想する。この仮定にはCalabi–Yau型であることが含まれる。

主結果

coregularityと同じ次元への帰着（Theorem 1）

絶対coregularity $c$ かつ次元 $c$ のklt Calabi–Yau対でConjecture 1が成り立つなら、任意の次元の絶対coregularity $c$ の対で成り立つ。低次元の基本群定理から、高次元であってもcoregularityが小さい対へ結論を伝える役割を果たす。

coregularity零での有限性（Theorem 2）

射影klt対 $(X,D)$ の絶対coregularityが零なら

$$ \bigl|\pi_1^{\mathrm{reg}}(X,D)\bigr|<\infty $$

となる。次元自体を制限しない有限性である。

coregularityが1から3の場合（Theorem 3）

$1\leq c\leq3$ では、ある正規アーベル部分群 $A\triangleleft\pi_1^{\mathrm{reg}}(X,D)$ が存在し、

$$ [\pi_1^{\mathrm{reg}}(X,D):A]<\infty,\qquad \operatorname{rank}A\leq2c $$

となる。従ってConjecture 1はこの範囲で証明される。一般の $c$ に対する予想の解決ではない。

可解部分群の指数の有効な制御（Theorem 4）

次元を $d$ とし $0\leq c\leq2$ とすると、次元とcoregularityのみに依存する定数 $i(c,d)$ によって、長さが高々 $2d-1$、指数が高々 $i(c,d)$ の可解部分群が得られる。アーベル部分群の階数は制御できても、その指数を同様に一様制御できるとは限らないため、可解群へ対象を広げている。

対に対するtorus cover（Theorem 5）

射影klt対で $K_X+D\sim_{\mathbb Q}0$ なら、有限quasi-étale被覆 $Y\to X$ が存在し、

$$ Y\simeq A\times Z,\qquad \dim A=\widetilde q(X),\qquad \widetilde q(Z)=0 $$

となる。ここで $A$ はアーベル多様体、$\widetilde q$ は有限quasi-étale被覆を通じたirregularityの最大値である。$Z$ にはklt境界 $D_Z$ があり、$K_Z+D_Z\sim_{\mathbb Q}0$ を満たす。

Conjecture 1を仮定すると、この分解から $\widetilde q(X)\leq\widehat{\operatorname{coreg}}(X,D)$ が従う（Corollary 1）。全てのcoregularityに対するこの系は、予想を仮定した主張である。

3次元klt Calabi–Yau対（Theorem 6）

3次元のklt log Calabi–Yau対について、正則部分のorbifold基本群は仮想アーベルであり、その階数は

$$ \operatorname{rank}\leq\max\bigl(4,2\widetilde q(X)\bigr) $$

で抑えられる。境界が非自明な場合も含む。これが次元帰着と組み合わさり、coregularityが3以下という任意次元の結論を支える。

証明の見取り図

Introductionでは、まずcoregularityに応じた低次元のCalabi–Yau対へ基本群問題を帰着することが、全体の中心に置かれる。そこで低次元の仮想アーベル性を用い、次元に依存しない階数上界を元の対へ戻す。

torus coverは、増大不正則数に対応するアーベル因子を分離し、残りを $\widetilde q=0$ の問題として切り出す。3次元では既知の手法を組み合わせて正則部分の基本群を制御する。Introductionは後半の証明の詳細までは展開していないため、ここではこの帰着関係と役割にとどめる。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要結果: Conjecture 1; Theorems 1–6; Corollary 1
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2401.01315v3
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction