複素微分幾何学 · 2026-10-02
Monge-Amp\`ere degenerations and conifold contractions in Fujiki class $\mathcal{C}$
FujikiクラスCにおけるMonge–Ampère退化とconifold contraction Riley Guyett, Ryan Mc Gowan riley-guyett-arnm6k ryan-mc-gowan-ih398p monge-ampere-equations pluripotential-theory calabi-yau-geometry metric-limits singularities Singularities 特異点・特異性 Metric limits and Gromov–Hausdorff geometry 距離空間極限・Gromov–Hausdorff幾何 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-AmperearXiv Abstract
Given a $\mathbb{Q}$-Gorenstein normal projective Calabi-Yau variety $Y$ with ordinary double points as singularities and a small crepant resolution $\pi\colon X\to Y$ with $X$ in the Fujiki class $\mathcal{C}$, we establish uniform estimates away from the exceptional locus where the given metrics may degenerate. When $Y$ is a threefold, we prove that these metrics also converge in a Gromov-Hausdorff sense to the metric completion of $Y$ on the regular locus. In particular, our results extend the work of Song on a conjecture of Candelas and de la Ossa.
日本語要約
ordinary double pointをもつ$\mathbb Q$-Gorenstein正規射影Calabi–Yau多様体と、Fujikiクラス$\mathcal C$に属するsmall crepant resolutionを考える。退化するMonge–Ampère計量について例外集合外の一様評価を証明する。三次元の場合、計量が特異多様体の正則部分の距離完備化へGromov–Hausdorff収束することを示す。
Given a $\mathbb{Q}$-Gorenstein normal projective Calabi-Yau variety $Y$ with ordinary double points as singularities and a small crepant resolution $\pi\colon X\to Y$ with $X$ in the Fujiki class $\mathcal{C}$, we establish uniform estimates away from the exceptional locus where the given metrics may degenerate. When $Y$ is a threefold, we prove that these metrics also converge in a Gromov-Hausdorff sense to the metric completion of $Y$ on the regular locus. In particular, our results extend the work of Song on a conjecture of Candelas and de la Ossa.
$\mathbb Q$-Gorenstein Calabi–Yau多様体のordinary double pointをsmall crepant resolutionするFujikiクラス$\mathcal C$空間上で、退化Monge–Ampère計量の例外集合外の一様評価を確立する。三次元ではGromov–Hausdorff極限を特異多様体の正則部分の距離完備化と同定する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2610.00942
- 著者: Riley Guyett, Ryan Mc Gowan
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年10月01日
- 主分類・副分類: math.DG, math.AG, math.CV
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
conifold transitionでは、Calabi–Yau多様体のordinary double pointをsmall resolutionする際にKähler classが退化する。本論文はresolutionがKählerであるとは限らずFujikiクラス$\mathcal C$に属する状況まで、Monge–Ampère計量の解析を拡張する。
例外曲線から離れたコンパクト集合上でポテンシャルと高階微分の一様評価を確立する。複素次元3ではこの局所制御と大域的距離評価を組み合わせ、Gromov–Hausdorff極限を特異Calabi–Yauの正則部分の距離完備化として同定する。
背景と問題設定
small crepant resolution $\pi:X\to Y$で参照classが$\pi^*[\omega_Y]$へ近づくと、例外集合上で正値性が失われる。Fujikiクラスでは通常のKähler背景を固定できないため、退化に対して頑健なpluripotential estimateが必要となる。
主結果
例外集合外の一様評価（Theorem 1.1）
$Y$をordinary double pointのみをもつ$\mathbb Q$-Gorenstein正規射影Calabi–Yau多様体、$\pi:X\to Y$をsmall smooth crepant resolutionとする。Introductionの仮定を満たす$0<\varepsilon\le1$のMonge–Ampère解は、例外集合外の各コンパクト集合上で$\varepsilon$に依らない一様な滑らかさ評価を満たす。
Gromov–Hausdorff収束（Theorem 1.2）
$\dim_{\mathbb C}Y=3$なら、対応する計量空間は$(Y_{\mathrm{reg}},\omega_0)$の距離完備化へGromov–Hausdorff収束する。これはCandelas–de la Ossa予想に関するSongの結果をFujikiクラスへ拡張する。
証明の見取り図
退化classをbig classとして扱うpluripotential estimatesでポテンシャルを制御し、例外集合外では局所的な楕円型評価へ昇格させる。三次元ordinary double point近傍の距離評価と非退化領域の滑らかな収束を接合し、metric completionとの一致を示す。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2610.00942
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction