代数幾何学 · 2026-08-20
Fujiki Class $\mathcal C$ Varieties and a Kähler Criterion
Fujikiクラス $\mathcal C$ の多様体とKähler判定法 Christopher Hacon, Yi Li, Lingyao Xie christopher-hacon-1rfo40j yi-li-v1wtxi lingyao-xie-19bfqgq minimal-model-program birational-geometry singularities positivity Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Minimal model program 極小モデル・プログラム Positivity 正値性arXiv Abstract
In this article, we show that flips and divisorial contractions preserve the Kähler condition (for strongly $\mathbb{Q}$-factorial compact Kähler generalized klt pairs with $B+β_X$ big), and we give a criterion for varieties in Fujiki's class $\mathcal C$ to be Kähler. We also prove the existence of small $\mathbb Q$-factorializations for generalized klt pairs and of dlt modifications for generalized pairs.
日本語要約
強く $\mathbb Q$-factorialなコンパクトKähler generalized klt対で境界の一般化部分がbigなら、flipと因子収縮はKähler性を保つ。Fujikiクラス $\mathcal C$ に属する多様体のKähler性判定に加え、generalized klt対のsmall $\mathbb Q$-factorial化とgeneralized pairのdlt modificationも証明する。
In this article, we show that flips and divisorial contractions preserve the Kähler condition (for strongly $\mathbb{Q}$-factorial compact Kähler generalized klt pairs with $B+β_X$ big), and we give a criterion for varieties in Fujiki's class $\mathcal C$ to be Kähler. We also prove the existence of small $\mathbb Q$-factorializations for generalized klt pairs and of dlt modifications for generalized pairs.
compact Kähler generalized klt対のMMPでflipと因子収縮の後もKähler性が保たれることを、次元に依存しない形で示す。さらにFujikiクラス $\mathcal C$ の空間がKählerであるための有理曲線による判定法と、small $\mathbb Q$-factorial化・dlt modificationの存在を確立する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2608.20588v1
- 著者: Christopher Hacon, Yi Li, Lingyao Xie
- 初回投稿日・最終更新日: 2026-08-20
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
射影多様体のMMPでは各収縮の底が再び射影的となるが、Kähler圏では同じ保証が自動的でない。高次元のKähler MMPを反復するためには、flipや因子収縮の後も対象がKähler空間に留まることが不可欠である。
本論文は、strongly $\mathbb Q$-factorialなcompact Kähler generalized klt対で $B+\beta_X$ がbigなら、この保存性が成り立つことを示す。従来の三次元で用いられたKleiman型判定を、高次元で使えるnefかつbigな随伴類の判定へ置き換える。
さらにFujikiクラス $\mathcal C$ のgeneralized klt空間が非Kählerである場合の二つの障害を与える。strongly $\mathbb Q$-factorialなら、負向きの有理曲線類が存在しないことがKähler性と同値になる。
背景と問題設定
Fujikiクラス $\mathcal C$ はcompact Kähler多様体からbimeromorphic modificationを受けるcompact complex空間からなる。Kähler MMPの予想される出力を構成するには、cone・contraction・flipの存在に加え、各段階でKähler性が失われないことが必要である。
主結果
MMP操作によるKähler性の保存（Theorem 1.2）
$(X,B+\beta)$ をcompact、Kähler、strongly $\mathbb Q$-factorialなgeneralized klt対とし、$B+\beta_X$ をbigとする。極端射線に付随するflipまたは因子収縮 $f:X\to Y$ に対し、$Y$ はKählerである。
FujikiクラスのKähler判定（Theorem 1.3, Corollary 1.4）
$X$ がFujikiクラス $\mathcal C$ のcompact generalized klt空間で非Kählerなら、負の有理曲線類 $-[C]\in NA(X)$ が存在するか、small $\mathbb Q$-factorial Kähler modification $X^{qf}\to X$ が存在する。とくに $X$ がstrongly $\mathbb Q$-factorialなら、
$$ X\text{ がKähler}\quad\Longleftrightarrow\quad -[C]\notin NA(X)\text{ for every rational curve }C $$
である。
大域的な修正の存在（Theorems 1.5, 1.6）
compact generalized klt対にはsmall projective bimeromorphicなstrongly $\mathbb Q$-factorial化が存在する。またcompact analytic generalized pairには、例外因子とdiscrepancyを制御したglobal dlt modelが存在する。
証明の見取り図
収縮を支える類を底のnefかつbigな類 $\alpha_Y$ へ降ろし、そのnull locusが曲線で覆われるというKleiman型判定を用いて $\alpha_Y$ がKählerであることを示す。Kähler判定ではKähler解消から相対nef thresholdを取り、thresholdが0ならsmall modificationを得る。正なら相対MMPを進め、負の有理曲線を得るかKähler性を保つ収縮を反復し、log canonical modelの有限性で停止させる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2608.20588
- Introduction: Section 1, pp. 1–4
- 主要定理: Theorems 1.2, 1.3, 1.5, 1.6; Corollary 1.4
- 論文構成: Section 1.2, p. 4
- 確認したarXivバージョン: v1
- source_scope: Abstract and Introduction