代数幾何学 · 2026-11-04

Pushforwards of lc pairs under morphisms to abelian varieties

アーベル多様体へのlc対の直像と大域生成

Fanjun Meng

fanjun-meng-1qwspo0 positivity singularities vector-bundles-sheaves hodge-theory multiplier-ideals-extension Singularities 特異点・特異性 Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Hodge theory ホッジ理論 Multiplier ideals and extension theorems 乗数イデアル・拡張定理

arXiv Abstract

Let $f$ be a morphism from a log canonical pair $(X,\Delta)$ to an abelian variety $A$ and $D\sim_{\mathbb Q}m(K_X+\Delta)$ a Cartier divisor on $X$ with $m>1$ a rational number. We prove that $f_*\mathcal{O}_X(D)$ is globally generated after pullback by an isogeny. Our methods involve birational geometry, mixed Hodge modules and singular Hermitian metrics with the minimal extension property. Moreover, we provide simple counterexamples where the above result fails for plt pairs when $m=1$ and where the existence of Chen--Jiang decompositions fails for plt pairs for any $m\ge1$.

日本語要約

klt対で知られた多重対数標準束の直像の正値性を、log canonical対へ広げる問題を扱う。有理数mが1より大きい場合、m倍の対数標準因子にQ線形同値なCartier因子の直像は、アーベル多様体の同種写像で引き戻した後に大域生成される。一方、m=1でのこの主張と、任意のmでのChen–Jiang分解にはplt曲面対による反例がある。証明では最小lc中心への制限の像に計量を構成し、切断の拡張と組み合わせる。

Let $f$ be a morphism from a log canonical pair $(X,\Delta)$ to an abelian variety $A$ and $D\sim_{\mathbb Q}m(K_X+\Delta)$ a Cartier divisor on $X$ with $m>1$ a rational number. We prove that $f_*\mathcal{O}_X(D)$ is globally generated after pullback by an isogeny. Our methods involve birational geometry, mixed Hodge modules and singular Hermitian metrics with the minimal extension property. Moreover, we provide simple counterexamples where the above result fails for plt pairs when $m=1$ and where the existence of Chen--Jiang decompositions fails for plt pairs for any $m\ge1$.

アーベル多様体への射で、lc対の多重対数標準束の直像が同種写像後に大域生成されることを、有理数倍が1より大きい場合に示す。1倍の場合やChen–Jiang分解には、良好なplt曲面対でも反例がある。kltの場合に結びついていた複数の正値性の性質を、lcの場合には区別する必要がある。

arXiv
2611.04801v1
初回投稿日
2026-11-03
原論文のライセンス
Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0)
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

アーベル多様体への射で多重標準束を直像すると、もとの多様体の幾何が基底上の連接層の正値性として現れる。滑らかな場合やklt対では、同種写像後の大域生成やChen–Jiang分解などの強い性質が知られている。本論文は、それらがlog canonical対でも成り立つかを調べる。

中心となる肯定的結果は、対数標準因子の有理数倍$m>1$に対応するCartier因子の直像が、適当な同種写像による引き戻しの後で大域生成されるというものである。境界の特異性をkltからlcへ緩めても、この範囲では正値性が残る。

しかし、$m=1$では大域生成の主張自体が失敗する。また、直像をより特殊な層の直和へ分けるChen–Jiang分解は、$m>1$でも一般には存在しない。反例は対数滑らかなplt曲面対で得られ、対数標準因子もnef、big、semiampleという良い性質をもつ。

新しい証明では、直像層全体を最初から扱うのではなく、最小lc中心への制限の像を取り出す。その像の計量と切断の持ち上げを制御することで、既存のkltの場合への単純な帰着が使えない問題を解決する。

背景と問題設定

$(X,\Delta)$を複素数体上の射影lc対、$f:X\to A$をアーベル多様体への射とする。$f$は全射とは限らない。有理数$m\geq1$とCartier因子$D$について

$$ D\sim_{\mathbb Q}m(K_X+\Delta) $$

を仮定する。問うのは、有限全射準同型$\varphi:A'\to A$を選んで$\varphi^\ast f_\ast\mathcal O_X(D)$を大域生成にできるかということである。

Chen–Jiang分解は、より強い形の表示

$$ f_\ast\mathcal O_X(D)\cong\bigoplus_{i\in I}\bigl(\alpha_i\otimes p_i^\ast\mathcal F_i\bigr) $$

を要求する。ここで$p_i:A\to A_i$はアーベル多様体間の連結ファイバーをもつ射、$\alpha_i$はtorsion線束、$\mathcal F_i$は非零のM-regular層である。滑らかな多様体の標準束の直像の直和因子として実現する性質は、この分解、さらに同種写像後の大域生成を導く。しかしlcの場合には逆方向の同値は崩れる。

主結果

同種写像後の大域生成（Theorem 1.4）

上の設定で有理数$m>1$ならば、ある同種写像$\varphi:A'\to A$に対して

$$ \varphi^\ast f_\ast\mathcal O_X(D) $$

は大域生成される。これはIntroductionのConjecture 1.1を$m>1$で肯定する結果である。最大Albanese次元の底空間上のファイブレーションにおける小平次元の劣加法性などへ応用される。

制限の像に入る計量（Theorem 1.5）

$(X,S+B)$を対数滑らかなlc対、$S=\lfloor S+B\rfloor$、$D\sim_{\mathbb Q}m(K_X+S+B)$、$m\geq1$とする。$T$は同じ次元の最小lc中心の被約な合併で、各成分が$A$を支配すると仮定する。このとき

$$ \mathcal Q=\operatorname{Im}\left(f_\ast\mathcal O_X(D)\longrightarrow(f|_T)_\ast\mathcal O_T(D|_T)\right) $$

は半正曲率とminimal extension propertyをもつ特異Hermitian計量を許す。これは$m=1$でも成り立つが、直像層全体が同じ計量をもつことを意味しない。

1倍の場合の反例（Theorem 1.7）

$m=1$では同種写像後の大域生成は一般に成立しない。反例は対数滑らかなplt曲面対で、$K_X+\Delta$はnef、big、semiampleである。対応する直像層には、半正曲率とminimal extension propertyを兼ね備えた特異Hermitian計量も存在しない。

Chen–Jiang分解の反例（Theorem 1.8）

任意の有理数$m\geq1$について、Chen–Jiang分解および滑らかな多様体の標準束の直像の直和因子としての実現は一般には成り立たない。この反例も対数滑らかなplt曲面対で、対数標準因子はnef、big、semiampleである。他方、この例の直像には同種写像後の大域生成と、上記の特異Hermitian計量が存在する。したがって失敗する性質と残る性質が明確に分離される。

証明の見取り図

主定理は基底アーベル多様体の次元とlc中心の個数に関する帰納法で示される。最小lc中心$T$への制限先全体ではなく像$\mathcal Q$を使い、

$$ 0\longrightarrow f_\ast(\mathcal I_T\otimes\mathcal O_X(D))\longrightarrow f_\ast\mathcal O_X(D)\longrightarrow\mathcal Q\longrightarrow0 $$

を考える。左の層は帰納法で扱い、右の層には混合Hodge加群、巡回被覆、特異点解消を使った正値性の議論を適用する。特異Hermitian計量とminimal extension propertyは、この右の層の分裂性などを制御する。

決定的なのは、$\mathcal Q$の大域切断をもとの直像へ持ち上げる部分が$m>1$を本質的に使うことである。$m=1$を出発点とする従来の帰着は、その出発点がlcの場合に失敗するため使えない。反例は楕円曲線上の非分裂拡張$0\to\mathcal O_C\to E\to\mathcal O_C\to0$と、その対称冪の性質を出発点として構成される。

原論文との対応