代数幾何学 · 2026-10-28
Deformation of nef adjoint canonical line bundles
nef随伴標準束の変形不変性 Mu-Lin Li, Sheng Rao, Kai Wang mu-lin-li-uqaa2s sheng-rao-1oaunxo kai-wang-mm9d6z positivity moduli minimal-model-program Minimal model program 極小モデル・プログラム Positivity 正値性 Moduli and families モジュライ・族arXiv Abstract
Much inspired by J. A. Wi\'sniewski's nef-value function method, we prove that in a smooth projective family over the unit disk, if the adjoint bundle of the canonical line bundle with a relatively semiample line bundle is nef on one fiber, then it remains nef on all fibers. We further extend this result to the semiampleness of the adjoint canonical line bundles. Using these, we prove the deformation invariance of any generalized plurigenera by assuming that only one fiber admits the semiample canonical line bundle and improve the first author--Xiao-Lei Liu's recent deformation rigidity of projective manifolds with semiample canonical line bundles. In particular, also by E. Viehweg--K. Zuo's result on the minimal number of singular fibers in a family and the first author--X. Liu's isotriviality result, if a projective family over $\mathbb{P}^1$ or an elliptic curve has one fiber with the big and nef (or more generally semiample) canonical line bundle, then all fibers are isomorphic to this fiber. Next, much inspired by M. Andreatta--T. Peternell's deformation theoretical approach, we prove that, in a smooth K\"ahler family of threefolds, if the canonical line bundle of one fiber is not nef, then none of its small deformations admits a nef canonical line bundle either. This partially confirms a problem posed by F. Campana--T. Peternell and the global stability of semiampleness of canonical line bundles of threefolds under a K\"ahler smooth deformation.
日本語要約
単位円板上の滑らかな射影族で、相対semiample線束Lに対するK+Lが一つのファイバーでnefなら、すべてのファイバーでnefとなる。semiample性にも同様の伝播が成り立ち、標準束が一つのファイバーでsemiampleであれば一般化多重種数が不変になる。低次元のKähler族では標準束の非nef性の局所的安定性を示し、三次元abundanceと組み合わせてsemiample性の大域的安定性を得る。
Much inspired by J. A. Wi\'sniewski's nef-value function method, we prove that in a smooth projective family over the unit disk, if the adjoint bundle of the canonical line bundle with a relatively semiample line bundle is nef on one fiber, then it remains nef on all fibers. We further extend this result to the semiampleness of the adjoint canonical line bundles. Using these, we prove the deformation invariance of any generalized plurigenera by assuming that only one fiber admits the semiample canonical line bundle and improve the first author--Xiao-Lei Liu's recent deformation rigidity of projective manifolds with semiample canonical line bundles. In particular, also by E. Viehweg--K. Zuo's result on the minimal number of singular fibers in a family and the first author--X. Liu's isotriviality result, if a projective family over $\mathbb{P}^1$ or an elliptic curve has one fiber with the big and nef (or more generally semiample) canonical line bundle, then all fibers are isomorphic to this fiber. Next, much inspired by M. Andreatta--T. Peternell's deformation theoretical approach, we prove that, in a smooth K\"ahler family of threefolds, if the canonical line bundle of one fiber is not nef, then none of its small deformations admits a nef canonical line bundle either. This partially confirms a problem posed by F. Campana--T. Peternell and the global stability of semiampleness of canonical line bundles of threefolds under a K\"ahler smooth deformation.
滑らかな射影族で、相対semiample線束を加えた標準束のnef性が一つのファイバーから全体へ伝播することを示す。semiample性や一般化多重種数の不変性へ応用し、三次元以下のKähler族について標準束の非nef性が小変形で保たれることも証明する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2510.23967v2
- 著者: Mu-Lin Li, Sheng Rao, Kai Wang
- 初回投稿日: 2025-10-28
- 最終更新日: 2026-10-27
- 主分類・副分類: math.AG（主分類）; 副分類なし
- ライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
要約
一つのファイバーで標準束がnefであることは、変形族全体の性質をどの程度制約するのか。本論文はこの問いを、相対semiample線束を加えた随伴標準束まで拡張して調べる。
射影族については、随伴標準束のnef性とsemiample性が一つのファイバーから全ファイバーへ伝わる。これを使い、標準束の高次コホモロジーの次元が変わらないことや、固定された多様体と同型なファイバーの現れ方に関する剛性を導く。
非射影のKähler族では同じ結論を一般次元で主張しない。三次元以下で非nef性が開条件であることを示し、三次元abundanceの既知の結果と合わせてsemiample性の変形安定性を得る。より広いFujiki類を含む主張は予想として区別される。
背景と問題設定
$\pi:\mathcal X\to\Delta$を単位円板上の滑らかな族、$X_t$をファイバー、$L_t=L|_{X_t}$とする。線束は加法記法を用いる。射影族におけるnef-value法と、極端収縮の変形を調べるAndreatta–Peternellの方法が出発点である。
ここで「滑らかなKähler族」は全空間上に滑らかな閉正$(1,1)$形式がある族を意味する。単に個々のファイバーがKählerであるという条件との違いを保つ。
主結果
随伴束のnef性（Theorem 1.1）
$\pi$が滑らかな射影族、$L$が$\pi$-semiampleなら、ある$t_0$で$K_{X_{t_0}}+L_{t_0}$がnefであることから、全$t\in\Delta$で$K_{X_t}+L_t$がnefとなる。すなわち
$$ \lbrace t\in\Delta:K_{X_t}+L_t\text{ is nef}\rbrace =\varnothing\quad\text{または}\quad\Delta $$
である。Corollary 1.2は同じ条件でsemiample性の伝播も示し、各ファイバー近傍での相対semiample性を得る。
一般化多重種数（Theorem 1.3）
滑らかな射影族で、一つの$K_{X_{t_0}}$がsemiampleなら、すべての$i\geq0,m\geq1$について
$$ P_m^i(X_t):=\dim_{\mathbb C}H^i(X_t,K_{X_t}^{\otimes m}) $$
は$t$に依存しない。通常の切断数だけでなく高次コホモロジーを含む不変性である。Corollary 1.4では、滑らかなKähler族の一つのファイバーが一般型の極小多様体なら、全ファイバーがそうなる。
同型ファイバーの剛性（Theorem 1.5）
$S$を標準束がsemiampleな射影多様体とし、滑らかなKähler族の集合
$$ \mathcal S=\lbrace t\in\Delta:X_t\simeq S\rbrace $$
を考える。この集合は高々離散、または$\Delta$全体である。離散であることは有限であることを意味しない。底が滑らかな代数曲線なら、Corollary 1.6は「高々有限、または全体」とする。
低種数の底上の等自明性（Theorem 1.8）
底が$\mathbb P^1$または楕円曲線の滑らかな射影族で、標準束がsemiampleな射影多様体$S$と同型なファイバーが一つ存在すれば、すべてのファイバーが$S$と同型となる。Corollary 1.7は、滑らかなKähler族で$K_S$がbigかつnefの場合を扱う。これらは仮定の異なる主張である。
Kähler族における非nef性（Theorem 1.10）
ファイバー次元$n\leq3$の滑らかなKähler族で$K_{X_{t_0}}$がnefでなければ、十分近い$t$についても$K_{X_t}$はnefでない。非射影Kählerの場合を含み、IntroductionのQuestion 1.9に低次元で答える。
三次元でのsemiample性（Corollary 1.12）
滑らかなKähler三次元族で一つの標準束がsemiampleなら、全ファイバーの標準束がsemiampleで、各底点のZariski近傍上でも相対semiampleとなる。一般化多重種数$P_m^i$も不変である。任意次元のコンパクトKähler多様体やFujiki類で、nef性から同様の帰結を得るConjecture 1.13は未証明の提案である。
証明の見取り図
射影族ではnef-value関数の方法と複素解析空間上の相対MMPを使ってnef locusを制御する。Siuのねじれた多重種数の不変性とKawamataのsemiample性判定を合わせ、nef性からsemiample性の伝播へ進む。
Kähler三次元では因子的収縮の分類と標準束のnef性判定を用いる。既知のabundance定理を接続することで、非nef性の局所的な情報からsemiample性とコホモロジー次元の大域的な安定性を得る。
原論文との対応
- Abstractページ: 公式arXivページ
- Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–3
- Introduction中で言及された主要結果: Theorems 1.1, 1.3, 1.5, 1.8, 1.10；Corollaries 1.2, 1.4, 1.6–1.7, 1.12；Conjecture 1.13は予想
- 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
- 確認したarXivバージョン: 2510.23967v2
- 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
- source_scope: Abstract and Introduction