代数幾何学 · 2026-10-07

The Kuranishi space of joint deformations of Calabi--Yau manifolds and holomorphic vector bundles

Calabi–Yau多様体と正則ベクトル束の同時変形

Runze Zhang

runze-zhang-10pma7t calabi-yau-geometry vector-bundles-sheaves moduli hodge-theory Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Moduli and families モジュライ・族 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何 Hodge theory ホッジ理論

arXiv Abstract

In this paper, we study joint deformations of pairs $(X,E)$, where $X$ is a compact complex manifold and $E\rightarrow X$ is a holomorphic vector bundle. We prove that $(X,E)$ has unobstructed deformations if $X$ is a Fujiki manifold with torsion canonical bundle and $H^2(X,\textrm{End}^0E)=0$, where $\textrm{End}^0 E$ denotes the trace-free endomorphism bundle. When the canonical bundle is trivial, the Fujiki assumption can be replaced by three weak $\partial\bar\partial$-conditions. We construct examples satisfying these conditions whose Fr\"olicher spectral sequences do not degenerate at $E_1$. These results provide non-K\"ahler extensions of the theorems of Li--Pan and Iacono--Manetti. Without this vanishing assumption, we obtain both unobstructed and obstructed pairs. In Thomas's example, we prove unobstructedness of the pair, although the bundle has obstructed deformations with the manifold fixed. On the other hand, we prove that every strict projective Calabi--Yau manifold of dimension at least three admits a simple bundle with obstructed joint deformations. We also construct obstructed pairs with Hermitian flat bundles on complex tori. These results answer two questions raised by Felten.

日本語要約

コンパクト複素多様体 $X$ と正則ベクトル束 $E$ を同時に変形する問題を扱う。標準束が捩れであるFujiki多様体に対し、$H^2(X,\operatorname{End}^0E)=0$ の下で非障害性を示し、標準束が自明ならば三つの弱い $\partial\bar\partial$ 条件でも同様の結論を得る。一方、この消滅条件なしでは、Thomasの例の同時変形は非障害的であるが、全ての3次元以上のstrictな射影Calabi–Yau多様体に同時変形が障害を持つ単純束が存在する。また、複素トーラス上のHermitian平坦束についても障害例を構成する。

In this paper, we study joint deformations of pairs $(X,E)$, where $X$ is a compact complex manifold and $E\rightarrow X$ is a holomorphic vector bundle. We prove that $(X,E)$ has unobstructed deformations if $X$ is a Fujiki manifold with torsion canonical bundle and $H^2(X,\textrm{End}^0E)=0$, where $\textrm{End}^0 E$ denotes the trace-free endomorphism bundle. When the canonical bundle is trivial, the Fujiki assumption can be replaced by three weak $\partial\bar\partial$-conditions. We construct examples satisfying these conditions whose Fr\"olicher spectral sequences do not degenerate at $E_1$. These results provide non-K\"ahler extensions of the theorems of Li--Pan and Iacono--Manetti. Without this vanishing assumption, we obtain both unobstructed and obstructed pairs. In Thomas's example, we prove unobstructedness of the pair, although the bundle has obstructed deformations with the manifold fixed. On the other hand, we prove that every strict projective Calabi--Yau manifold of dimension at least three admits a simple bundle with obstructed joint deformations. We also construct obstructed pairs with Hermitian flat bundles on complex tori. These results answer two questions raised by Felten.

標準束が捩れであるFujiki多様体と正則ベクトル束の対について、トレース零自己準同型束の第2コホモロジーの消滅から同時変形の非障害性を導く。より弱い非Kähler条件への拡張と、高次元Calabi–Yau多様体や複素トーラス上の障害例を併せて与え、束だけを変形する問題との違いを明らかにする。

arXiv
2610.08776v1
初回投稿日
2026-10-06
原論文のライセンス
CC BY 4.0
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

  • arXiv: arXiv:2610.08776v1
  • 著者: Runze Zhang
  • 初回投稿日: 2026-10-06
  • 最終更新日: 2026-10-06
  • 主分類・副分類: math.AG（主分類）、math.CV, math.DG（副分類）
  • ライセンス: CC BY 4.0

要約

多様体 $X$ の複素構造を変える問題と、$X$ 上の束 $E$ の正則構造を変える問題は、同時に考えると相互に影響する。束だけの変形が障害を持っていても、多様体を一緒に動かすことで障害がなくなる場合がある。本論文は、対 $(X,E)$ のKuranishi空間が滑らかになる条件と、滑らかにならない例を調べる。

肯定的な結果の中心は、標準束が捩れであるFujiki多様体に対する非障害性である。束のトレース零自己準同型部分に関する $H^2$ の消滅を仮定すると、射影多様体で知られていた結果が非KählerのFujiki多様体まで広がる。標準束が自明な場合には、三つの弱い $\partial\bar\partial$ 条件で十分となり、Frölicherスペクトル系列が $E_1$ で退化しない例も含まれる。

他方、この消滅条件を外せば非障害性は一般には成立しない。著者はThomasの既知の束について同時変形の非障害性を示す一方、任意の高次元strict射影Calabi–Yau多様体で障害を持つ単純束を構成する。さらに、複素トーラスでは曲率が零の束にも同時変形の障害が現れる。基礎多様体や曲率が穏やかであることだけでは、対の変形空間の滑らかさは保証されない。

背景と問題設定

Bogomolov–Tian–Todorov定理は、標準束が自明なコンパクトKähler多様体の変形の非障害性を与える。対の変形についてはLi–Pan、Iacono–Manettiが直線束を持つ射影的な場合を扱い、より高階数では $H^2(X,\operatorname{End}^0E)=0$ によって行列式束へ還元できることが知られていた。

論文ではCalabi–Yauという語を、標準束が捩れである連結コンパクト複素多様体に用い、Kähler性を定義に含めない。Fujiki多様体はコンパクトKähler多様体と双有理同値なコンパクト複素多様体である。また、$K_X\simeq\mathcal O_X$ のときK-trivialと呼び、さらに

$$ H^i(X,\mathcal O_X)=0\qquad(0\lt i\lt \dim X) $$

を満たす場合をstrictとする。これらの定義の下で、$\operatorname{Kur}(X,E)$ の滑らかさを問う。

主結果

主定理1：Fujiki多様体上の非障害性（Theorem A）

$X$ がCalabi–Yau Fujiki多様体で、階数 $r\geq1$ の正則ベクトル束 $E$ が

$$ H^2(X,\operatorname{End}^0E)=0 $$

を満たせば、$(X,E)$ の同時変形は非障害的である。$\operatorname{End}^0E$ はトレース零の自己準同型束であり、$\operatorname{End}E$ 全体の第2コホモロジーの消滅を要求するものではない。

Fujikiの場合には、標準束が捩れであるという仮定は、第1Bott–Chern類の消滅や実コホモロジーにおける $c_1(X)=0$ と同値であるとIntroductionで説明される。

主定理2：三つの弱い条件による非Kähler拡張（Theorem B）

$n$ 次元のK-trivial Calabi–Yau多様体 $X$ が

$$ S^{n,1},\qquad S^{n,2},\qquad B^{n-1,2} $$

を満たし、同じく $H^2(X,\operatorname{End}^0E)=0$ ならば、$\operatorname{Kur}(X,E)$ は滑らかである。

ここで $S^{p,q}$ は、$\bar\partial$ 閉な $\partial$ 完全形式 $\partial\alpha\in A^{p,q}(X)$ に対して $\bar\partial\beta=\partial\alpha$ が解を持つ条件である。$B^{p,q}$ はさらに $\beta$ を $\partial$ 完全に選べる条件を表す。完全な $\partial\bar\partial$ 補題はこれらを含意するが、逆は成立しない。

Introductionは、Frölicherスペクトル系列が $E_1$ で退化しない3次元・6次元の例を挙げる。特に6次元の例では障害空間 $H^2(X,A(E))$ が零でないにもかかわらず非障害性が成立するため、単なる障害空間の消滅による結論ではない。

直線束の場合（Corollary C）

直線束ではトレース零部分が零なので、Theorem AまたはBの $X$ 上の全ての直線束 $L$ について $\operatorname{Kur}(X,L)$ は滑らかとなる。

曲面上の単純束の場合（Corollary D）

KählerかつK-trivialなCalabi–Yau曲面では、単純な正則ベクトル束 $E$ に対し同じ結論が成り立つ。単純性とは $H^0(X,\operatorname{End}E)=\mathbb C,\mathrm{id}_E$ を意味する。

Thomasの例では同時変形の障害が消える（Introductionで説明されるTheorem 4.2）

$\mathbb P^2\times\mathbb P^2$ 内の滑らかな双次数 $(3,3)$ の超曲面上で、Thomasが構成した安定な階数2の束は、基礎多様体を固定した変形に障害を持つ。しかし、本論文は対の同時変形が非障害的となることを示すと説明する。忘却写像が滑らかでないことと、対の変形空間自体が特異であることを区別する例である。

主定理3：高次元strict Calabi–Yau上の障害例（Theorem E）

任意のstrict射影Calabi–Yau多様体 $X$ で $\dim X\geq3$ ならば、階数2以上の単純な正則ベクトル束 $E$ で

$$ \operatorname{Kur}(X,E)\ \text{が特異となるものが存在する。} $$

従って、曲面におけるCorollary Dを、そのまま高次元へ一般化することはできない。

主定理4：複素トーラス上の平坦束にも障害がある（Theorem F＝Theorem I.1）

複素トーラス $X$ の次元を $n\geq2$ とし、$L\in\operatorname{Pic}^0(X)$、$r\geq2$ とする。このとき

$$ E=L^{\oplus r}\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Kur}(X,E)\ \text{は特異である。} $$

$E$ はHermitian平坦であるが、原点近傍の変形は互いに可換な $n$ 個の $r\times r$ 行列の多様体の特異性を反映する。この結果はHisashi Kasuyaとの共著付録に対応する。

証明の見取り図

Theorems A、Bの解析的証明は、複素構造と束の正則構造を支配する連立Maurer–Cartan方程式を次数ごとに解くTian–Todorov型の方法である。トレースを取って行列式束の問題を取り出し、トレース零部分の $H^2$ 消滅を使って元の束へ戻る。Fujikiの場合には平坦束で捩った $\partial\bar\partial$ 補題を使い、K-trivialの場合には必要な条件を前述の三つに限定できる。

Theorem Aには、対数Calabi–Yau対と $\mathbb P^1$ 束を使う方法、および $T^1$-liftingを使う方法も与えられる。Introductionは、これらの証明がBeauville–Bogomolov分解やMMPを使わない点を強調する。一方、弱い三条件だけでTheorem B全体を独立に $T^1$-liftingから証明するための段階には未解決の点が残る。

障害例では、長さ4の部分空間のイデアル層の二次障害を出発点に、Seidel–Thomas twistで単純束を作り、その障害が基礎多様体の変形を許しても残ることを示す。トーラスの場合には、既知の分裂定理によって固定基底上の束の変形へ還元し、可換行列多様体の原点の特異性を用いる。以上はIntroductionに示された論理の紹介である。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2610.08776v1
  • Introduction: Section 1、pp. 1–7。p. 7の目次の後でSection 2が始まる。
  • 主要定理: Theorems A、B、E、F、Corollaries C、D。Thomasの例のTheorem 4.2はIntroductionの説明を参照。
  • 弱い条件の定義: p. 3、式(1.1)の直前。反例と証明方針はpp. 4–6。
  • 論文構成: p. 7。Section 3が非障害性、Sections 4–5がThomasの例と単純束の障害、Appendix Iがトーラスの平坦束を扱う。
  • 確認バージョン: v1。
  • 確認ライセンス: CC BY 4.0。
  • source_scope: Abstract and Introduction。