代数幾何学 · 2026-10-02
Stratification of Joint Moduli Spaces of Higgs Bundles
Higgs束のjoint moduli spaceの層状化 Shiyu Cao shiyu-cao-1nk0fq higgs-nonabelian-hodge moduli stability symplectic-contact-geometry Moduli and families モジュライ・族 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Higgs bundles and nonabelian Hodge theory ヒッグス束・非可換ホッジ理論 Symplectic and contact geometry シンプレクティック・接触幾何arXiv Abstract
We study the marked analytic moduli space of polystable degree-zero $\mathrm{SL}_r(\C)$-Higgs bundles over Teichm\"uller space. The connected components of the orbit-type loci defined by the full determinant-one stabilizers form a complex Whitney stratification. The projection to Teichm\"uller space is a holomorphic submersion on every stratum. Each stratum carries a canonical relative holomorphic symplectic form. These forms determine a vertical holomorphic Poisson bracket on the reduced structure sheaf, whose symplectic leaves are the connected orbit-type strata in the fibers. On each fiber, the Hitchin--Kobayashi correspondence is biholomorphic on every stratum and identifies its hyperk\"ahler structure. The harmonic representatives and vertical hyperk\"ahler tensors vary smoothly along the strata of the total space.
日本語要約
Teichmüller空間上のpolystableな次数0の$\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束のmarked analytic moduli spaceを調べる。determinant-one stabilizerによるorbit-type locusの連結成分がcomplex Whitney stratificationをなすことを示す。各stratumには標準的な相対正則symplectic形式があり、fiber上のHitchin–Kobayashi対応はstratumごとに双正則でhyperkähler構造を保つ。
We study the marked analytic moduli space of polystable degree-zero $\mathrm{SL}_r(\C)$-Higgs bundles over Teichm\"uller space. The connected components of the orbit-type loci defined by the full determinant-one stabilizers form a complex Whitney stratification. The projection to Teichm\"uller space is a holomorphic submersion on every stratum. Each stratum carries a canonical relative holomorphic symplectic form. These forms determine a vertical holomorphic Poisson bracket on the reduced structure sheaf, whose symplectic leaves are the connected orbit-type strata in the fibers. On each fiber, the Hitchin--Kobayashi correspondence is biholomorphic on every stratum and identifies its hyperk\"ahler structure. The harmonic representatives and vertical hyperk\"ahler tensors vary smoothly along the strata of the total space.
Teichmüller空間上で次数0のpolystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束を同時に動かすmarked analytic moduli spaceを研究する。stabilizerのorbit typeからcomplex Whitney stratificationを構成し、各stratum上の相対正則symplectic構造とfiberwise Poisson構造を得る。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2610.00378
- 著者: Shiyu Cao
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年09月30日
- 主分類・副分類: math.AG, math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
固定曲線上のHiggs束モジュライはhyperkähler幾何をもつが、曲線の複素構造もTeichmüller空間上で動かすと、stabilizerの跳躍により全空間は特異になる。本論文はこのjoint moduli spaceをorbit typeで層状化する。
full determinant-one stabilizerが同じ点の連結成分はcomplex Whitney stratificationをなし、各stratumからTeichmüller空間への射影は正則劣浸となる。各層に標準的な相対正則symplectic形式を構成し、それらが垂直方向の正則Poisson bracketを定める。
背景と問題設定
Hitchin–Kobayashi対応はpolystable Higgs束を方程式の解と結ぶ。非自明なautomorphismをもつ点を含めて族として扱うには、quotientの特異性と微分幾何的構造を同時に制御する必要がある。
主結果
complex Whitney stratification（Theorem A）
marked analytic moduli spaceにおけるdeterminant-one stabilizerのorbit-type locusの連結成分族$\mathcal P^{\mathrm{conn}}$は、局所有限なcomplex Whitney stratificationである。各stratum上でTeichmüller空間への射影は正則劣浸となる。
相対symplectic構造とPoisson構造
各stratumは標準的な相対正則symplectic形式をもち、reduced structure sheaf上に垂直正則Poisson bracketを定める。そのfiber内のsymplectic leafは連結orbit-type stratumである。
Hitchin–Kobayashi対応
各fiberで対応はstratumごとの双正則写像となり、hyperkähler構造を同定する。harmonic representativeと垂直hyperkähler tensorは全空間のstratumに沿って滑らかに変化する。
証明の見取り図
gauge-theoretic sliceと複素解析的quotient chartを族として構成し、orbit-type stratificationのWhitney条件を検証する。harmonic representativeのパラメータ依存性を解析して相対2形式を貼り合わせ、fiberwise reductionと対応させる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2610.00378
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction