複素微分幾何学 · 2026-10-02

Algebraic limits of Hermitian-Yang-Mills connections on K\"ahler surfaces

Kähler曲面上のHermitian–Yang–Mills接続の代数的極限

Keshu Zhou

keshu-zhou-1rede1p hermite-einstein-metrics vector-bundles-sheaves stability l2-methods moduli Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Moduli and families モジュライ・族 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 L² methods L²法 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein

arXiv Abstract

We develop a geometric way to uniformly carry out H\"ormander's $L^2$-estimates for Hermitian-Yang-Mills connections with bounded energy on K\"ahler surfaces. We then show the Uhlenbeck convergence of smooth HYM connections on K\"ahler surfaces can be realized as algebraic convergence inside an analytic flat family. As applications, we prove a continuity theorem for smoothable families and a boundedness result for $\mu$-semistable sheaves with fixed topology. We also discuss potential applications for the moduli problem.

日本語要約

Kähler曲面上の有界energy Hermitian–Yang–Mills接続に対し、Hörmanderの$L^2$評価を幾何学的に一様化する。滑らかなHYM接続のUhlenbeck極限が解析的flat family内の代数的極限として実現されることを示す。これを用いてsmoothable familyの連続性と、固定したrank・Chern類をもつ$\mu$-semistable sheafの有界性を得る。

We develop a geometric way to uniformly carry out H\"ormander's $L^2$-estimates for Hermitian-Yang-Mills connections with bounded energy on K\"ahler surfaces. We then show the Uhlenbeck convergence of smooth HYM connections on K\"ahler surfaces can be realized as algebraic convergence inside an analytic flat family. As applications, we prove a continuity theorem for smoothable families and a boundedness result for $\mu$-semistable sheaves with fixed topology. We also discuss potential applications for the moduli problem.

Kähler曲面上で有界energyをもつHermitian–Yang–Mills接続のUhlenbeck収束を、解析的flat family内部の代数的収束として実現する。Hörmander型$L^2$評価を一様化し、smoothable familyの連続性と固定topologyの$\mu$-semistable sheafの有界性へ応用する。

arXiv
2610.01221v1
初回投稿日
2026-10-01
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Hermitian–Yang–Mills接続のUhlenbeck極限は点でenergyを失い得る一方、代数幾何ではtorsion-free sheafのflat familyで退化を記述する。本論文はKähler曲面上で両者を直接結ぶ。

有界energyのHYM接続に対するHörmander型$L^2$評価を、bubbling点を避けつつ一様に実行する幾何学的方法を構成する。その解析的制御から局所正則sectionを作り、Uhlenbeck収束を解析的flat family内の代数的収束へ持ち上げる。

結果としてsmoothable familyの極限の連続性と、固定topological invariantsをもつ$\mu$-semistable sheafの有界性を示す。

背景と問題設定

Kobayashi–Hitchin対応は安定性とHYM接続を結ぶが、退化族では解析的compactificationと代数的compactificationが一致することを確認する必要がある。特に局所sectionの一様生成が主要な障害となる。

主結果

局所代数化（Theorem 1.1）

Introductionでは概略として次のように述べられている。有界energyのHYM接続列は部分列を取り領域を縮小すれば、Hörmander型評価から構成された正則データを通じて解析的flat family内の収束として表せる。

大域的極限（Theorem 1.2）

コンパクトKähler曲面では、Uhlenbeck極限に対応するpolystable sheafがflat familyの特殊fiberとして得られ、解析的極限と代数的極限が整合する。

応用（Theorems 1.3, 1.4）

滑らかに近似できるsemistable sheafの族でDonaldson–Uhlenbeck compactificationへの写像が連続となる。また固定rank、$c_1$、$c_2$をもつ$\mu$-semistable sheafの同型類は有界である。

証明の見取り図

局所$L^2$評価で十分な正則sectionを一様に構成し、評価写像からcoherent sheafのflat familyを得る。大域化後、separatednessでUhlenbeck極限と代数的特殊fiberを同定し、energy低下に関する帰納法を有界性へ用いる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2610.01221
  • Introduction: Section 1
  • Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction