複素微分幾何学 · 2026-10-01

Nakai-Moishezon type criteria for Hessian type equations on compact Kähler manifolds

コンパクトKähler多様体上のHessian型方程式に対するNakai–Moishezon型判定

Jixiang Fu, Xuan Li, Dekai Zhang, Ziyi Zhang

jixiang-fu-xppe6 xuan-li-q13mi4 dekai-zhang-1dyi8nn ziyi-zhang-rpvrl8 positivity monge-ampere-equations pluripotential-theory Positivity 正値性 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

We establish numerical criteria for polynomial positivity of real $(1,1)$-classes on compact Kähler manifolds for strictly right-Noetherian polynomials. As applications, we obtain existence and uniqueness for the generalized Monge-Amp\`ere equations with a smooth zeroth coefficient, the complex Hessian and Hessian quotient equations, and the critical LYZ equation. We also characterize the cone of $k$-positive classes as a connected component of a numerical positivity cone.

日本語要約

コンパクトKähler多様体上の一般化Monge–Ampère方程式、複素Hessian方程式、Hessian商方程式、臨界位相LYZ方程式について、部分多様体上の交点数で表される可解性判定を与える。さらに $k$-positive class の錐を数値的正値錐の連結成分として特徴付ける。

We establish numerical criteria for polynomial positivity of real $(1,1)$-classes on compact Kähler manifolds for strictly right-Noetherian polynomials. As applications, we obtain existence and uniqueness for the generalized Monge-Amp\`ere equations with a smooth zeroth coefficient, the complex Hessian and Hessian quotient equations, and the critical LYZ equation. We also characterize the cone of $k$-positive classes as a connected component of a numerical positivity cone.

コンパクトKähler多様体上の一般化Monge–Ampère方程式、複素Hessian方程式、Hessian商方程式、臨界位相LYZ方程式について、部分多様体上の交点数で表される可解性判定を与える。さらに $k$-positive class の錐を数値的正値錐の連結成分として特徴付ける。

arXiv
2609.40238v1
初回投稿日
2026-09-30
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

複素Monge–Ampère方程式やHessian型方程式の解析的な可解性条件を、部分多様体上の交点数だけで特徴付けられるかが中心問題である。本論文はstrictly right-Noetherian polynomialに付随する正値性を導入し、コンパクトKähler多様体上でNakai–Moishezon型の数値判定を証明する。

その枠組みから、一般化Monge–Ampère方程式、臨界位相のLYZ方程式、複素Hessian方程式、Hessian商方程式の存在と一意性が得られる。さらに$k$-positive classの錐が数値的正値錐のうちKähler classを含む連結成分であることを示す。

背景と問題設定

Demailly–Păunの定理はKähler錐を解析的部分多様体上の交点数で捉える。本論文はこの思想をHessian型方程式へ拡張し、従来のsubsolution条件を数値条件から構成する。

主結果

一般化Monge–Ampère方程式（Theorem 1.1）

Introductionの記号で、点ごとの多項式$f_x$がstrictly right-Noetherianで体積整合条件(1.4)を満たすとする。このとき、固定Kähler形式$\kappa$を用いる全既約解析的部分多様体上の混合交点不等式(1.3)と、$[\alpha]$内に方程式

$$ \omega^n=\sum_{i=1}^{n-1}{n\choose i}c_i\omega^i\chi^{n-i}+c_0(x)\chi^n $$

を満たす滑らかな形式$\omega$が存在することは同値である。

臨界LYZ方程式（Theorem 1.3）

$\int_X(\alpha+\sqrt{-1}\chi)^n<0$が実数であるとき、全ての既約解析的部分多様体$V$に対するstrict mixed inequalityと、

$$ \sum_{j=1}^n\arctan\lambda_j(\chi^{-1}\omega)=\frac{(n-2)\pi}{2} $$

を満たす$\omega\in[\alpha]$の存在が同値である。

Hessian方程式（Theorems 1.4, 1.5）

Hessian商方程式$\omega^k\chi^{n-k}=C\omega^\ell\chi^{n-\ell}$と複素Hessian方程式$\omega^k\wedge\chi^{n-k}=e^F\chi^n$にも、対応する部分多様体上の交点不等式と同値な可解性判定を与える。

証明の見取り図

数値的不等式からstrict subsolutionを幾何的に構成し、既存の解析的存在定理へ接続する。多項式とその導関数の最大実根を制御するright-Noetherian性が、必要なcone conditionを保つ役割を担う。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.40238
  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1–1.5
  • 論文構成の説明: Introduction末尾
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction