複素微分幾何学 · 2026-09-25

Geometric stability for complex Monge-Ampere equations

複素Monge–Ampère方程式の幾何的安定性

Bin Guo, Jian Song, Jacob Sturm

bin-guo-5qv1tn jian-song-1io122w jacob-sturm-1009u8v monge-ampere-equations pluripotential-theory Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

Let $X$ be a compact Kahler manifold. The analytic stability theorem of Kolodziej for complex Monge-Ampere equation states that for any Kahler metrics $ω$ and $ω'$ in the same cohomology class, if their volume measures are bounded in $L^p(X)$ (for some $p>1$) and close in $L^1(X)$, then their Kahler potentials are close in $L^\infty(X)$. In this paper, we establish the geometric stability for complex Monge-Ampère equations that $L^1$-closeness of volume measures implies $L^\infty$-closeness for the induced distance functions by $ω$ and $ω'$. Consequently, we prove that any non-smooth Kahler current with volume measure bounded in $L^p$ (for some $p>1$) and Ricci current bounded below induces a unique metric space, which turns out to be a compact RCD space homeomorphic to $X$ itself.

日本語要約

複素Monge–Ampère方程式の体積測度が $L^1$ で近いとき、誘導される距離関数も一様に近いことを示す。共通の $L^p$ 制御とRicci下界を課すと双方向の評価とGromov–Hausdorff近接性が得られ、対応する非滑らかなKähler currentは一意なcompact RCD空間を定める。

Let $X$ be a compact Kahler manifold. The analytic stability theorem of Kolodziej for complex Monge-Ampere equation states that for any Kahler metrics $ω$ and $ω'$ in the same cohomology class, if their volume measures are bounded in $L^p(X)$ (for some $p>1$) and close in $L^1(X)$, then their Kahler potentials are close in $L^\infty(X)$. In this paper, we establish the geometric stability for complex Monge-Ampère equations that $L^1$-closeness of volume measures implies $L^\infty$-closeness for the induced distance functions by $ω$ and $ω'$. Consequently, we prove that any non-smooth Kahler current with volume measure bounded in $L^p$ (for some $p>1$) and Ricci current bounded below induces a unique metric space, which turns out to be a compact RCD space homeomorphic to $X$ itself.

同じKähler類に属する計量について、体積測度の $L^1$ 近接性から誘導距離関数の一様近接性を導く。共通のRicci下界の下ではGromov–Hausdorff安定性が従い、非滑らかなKähler currentが一意なcompact RCD距離空間を定めることも示す。

arXiv
2609.28978v1
初回投稿日
2026-09-24
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Kołodziejの安定性定理は体積密度の $L^1$ 近接性からKählerポテンシャルの $L^\infty$ 近接性を導く。本論文はこれを距離関数そのものの安定性へ強化する。

一方の計量にRicci下界を置くと距離の片側評価が得られ、両方に一様なRicci下界を置けば距離関数は一様に近くなる。したがってGromov–Hausdorff距離も小さくなる。

さらに適切な $L^p$ 密度とRicci current下界をもつ非滑らかなKähler currentに、正則化の選び方によらない一意なcompact RCD距離空間を対応させる。

背景と問題設定

ポテンシャルの一様制御は計量係数の二階微分を直接制御しない。このため解析的安定性から距離の安定性へ進むには、測地線とplurisubharmonic関数を結ぶ新しい評価が必要となる。

主結果

距離の半安定性（Theorem 1.1）

$\omega,\omega'\in\mathcal K_\theta(p,K)$ で $\operatorname{Ric}(\omega)$ に下界があり、体積測度が十分 $L^1$-近接なら、全ての $x,y$ に対し $$d_{\omega'}(x,y)<d_\omega(x,y)+\varepsilon$$ が成り立つ。

一様安定性（Corollary 1.1）

両計量に共通のRicci下界があれば $$\sup_{x,y\in X}|d_\omega(x,y)-d_{\omega'}(x,y)|<\varepsilon$$ となり、Gromov–Hausdorff距離も $\varepsilon$ 未満となる。

証明の見取り図

segment inequalityを用いて測地線上の悪い集合を避ける曲線を構成し、ポテンシャルの解析的安定性を曲線長の制御へ変換する。正則化列に適用して非滑らかなcurrentの距離を一意に定める。

原論文との対応