複素微分幾何学 · 2026-09-25

Geometric Holder estimates for complex Monge-Ampere equations

複素Monge–Ampère方程式の幾何的Hölder評価

Bin Guo, Jian Song, Jacob Sturm

bin-guo-5qv1tn jian-song-1io122w jacob-sturm-1009u8v monge-ampere-equations singularities Singularities 特異点・特異性 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

This paper is the continuation of our earlier work on Holder estimates for Kahler potentials on compact normal Kahler spaces. We establish a geometric counterpart for analytic Holder regularity of Kolodziej. If a singular metric $ω_φ$ has Holder continuous potentials with respect to a smooth background metric, then its distance function is Holder continuous with respect to a smooth background distance. The result holds on normal Kahler spaces and yields compactness of the metric completion as well as its identification with the underlying complex space if $ω_φ$ is a Kahler current. Under this positivity assumption, our estimates establish the Holder equivalence between the intrinsic canonical Kahler metrics and the extrinsic smooth metrics on Kahler-RCD spaces, particularly on smoothable Kahler-Einstein spaces.

日本語要約

Kählerポテンシャルの解析的Hölder連続性から、対応する内在距離の背景距離に対するHölder評価を導く。正規Kähler空間では有限射影とmonodromyを用い、Kähler currentの正値性の下でmetric completionのコンパクト性と元の複素空間との同相を得る。

This paper is the continuation of our earlier work on Holder estimates for Kahler potentials on compact normal Kahler spaces. We establish a geometric counterpart for analytic Holder regularity of Kolodziej. If a singular metric $ω_φ$ has Holder continuous potentials with respect to a smooth background metric, then its distance function is Holder continuous with respect to a smooth background distance. The result holds on normal Kahler spaces and yields compactness of the metric completion as well as its identification with the underlying complex space if $ω_φ$ is a Kahler current. Under this positivity assumption, our estimates establish the Holder equivalence between the intrinsic canonical Kahler metrics and the extrinsic smooth metrics on Kahler-RCD spaces, particularly on smoothable Kahler-Einstein spaces.

Hölder連続なポテンシャルをもつ特異Kähler計量について、誘導距離が背景距離に関してHölder連続となることを示す。正規Kähler空間では有限射影の次数を反映した指数を得て、Kähler currentの場合にはmetric completionを元の複素空間と同一視する。

arXiv
2609.28982v1
初回投稿日
2026-09-24
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Kołodziej型のHölder正則性はポテンシャルを制御するが、距離はその二階微分に依存する。本論文は解析的Hölder評価を内在距離の幾何的評価へ移す。

滑らかな場合には、端点を結ぶ曲線を背景測地線に近く選び、その新しい計量での長さを制御する。正規Kähler空間では有限射影を通じてこの評価を持ち上げる。

正値なKähler currentに対してcompletionはcompactとなり、元の複素空間と正準的に同相となる。smoothable Kähler–Einstein空間では内在距離と外在的な滑らかな距離がHölder同値となる。

背景と問題設定

特異Monge–Ampère計量のポテンシャルがHölder連続でも、距離関数の連続性は自動的ではない。特異点近傍ではPoincaré不等式も失敗し得るため、新しい局所手法が必要となる。

主結果

smoothable Kähler–Einstein空間（Theorem 1）

klt Kähler–Einstein多様体でsmoothableなものについて、ある $C,\alpha>0$ が存在し、Kähler–Einstein距離は背景距離に関してHölder評価を満たす。

正規射影多様体の評価（Theorem 4）

有限射影近傍の最大次数を $D$ とすると、$C^\alpha$ ポテンシャルが定める距離に対し $$d_{\omega_\varphi}(x,x')\leq C d_0(x,x')^{\alpha/(2D)}$$ が成り立つ。正の下界がある場合、completionは元の空間と同相である。

証明の見取り図

滑らかな場合は背景測地線を小さく摂動して長さを評価する。特異空間では局所有限射影で下の空間の評価を作り、根の移動とmonodromyを追跡しながら持ち上げる。

原論文との対応