代数幾何学 · 2026-09-24

Constructing Rational Curves via Jets on Projective Varieties with Non-Nef Canonical Bundle

非nef標準束を持つ射影多様体上のジェットによる有理曲線構成

Bin Dong, Guoxiong Gao, Bin Guo, Zeming Sun, Bin Wu, Song-Yan Xie

bin-dong-4j0vi4 guoxiong-gao-kdfe7g bin-guo-5qv1tn zeming-sun-1sd40vf bin-wu-1fsl5wm song-yan-xie-496a5j birational-geometry positivity Birational geometry 双有理幾何 Positivity 正値性

arXiv Abstract

We give an algebraic proof in characteristic zero of the Miyaoka--Mori criterion: every point of a curve of negative canonical degree on a smooth projective variety lies on a rational curve. Our jet technique gives, in addition, an effective numerical decomposition of the original curve class. For each prescribed point, the decomposition contains a rational curve through that point, with a positive coefficient independent of the point and with anticanonical degree at most $\dim X+1$. Together with BDPP cone duality, this recovers the projective uniruledness criterion over $\mathbb C$. The main result of this paper was obtained using the Pharos system. A detailed report on the use of Pharos and on the Lean~4 formalization of the main arguments is given in the Appendix B, written by Bin Dong, Guoxiong Gao, Zeming Sun, and Bin Wu.

日本語要約

滑らかな射影多様体 $X$ 上の曲線 $f(C)$ が $-K_X\cdot f_*[C]>0$ を満たすとき、その各点を通る有理曲線を標数0で直接構成する。重み付きジェット空間の負の交点数から正次数のパラメータ直線束を得て、元の曲線類の有効な数値分解へ移る。有理曲線の係数は指定点によらず、反標準次数は $\dim X+1$ 以下である。

We give an algebraic proof in characteristic zero of the Miyaoka--Mori criterion: every point of a curve of negative canonical degree on a smooth projective variety lies on a rational curve. Our jet technique gives, in addition, an effective numerical decomposition of the original curve class. For each prescribed point, the decomposition contains a rational curve through that point, with a positive coefficient independent of the point and with anticanonical degree at most $\dim X+1$. Together with BDPP cone duality, this recovers the projective uniruledness criterion over $\mathbb C$. The main result of this paper was obtained using the Pharos system. A detailed report on the use of Pharos and on the Lean~4 formalization of the main arguments is given in the Appendix B, written by Bin Dong, Guoxiong Gao, Zeming Sun, and Bin Wu.

標数0の滑らかな射影多様体で、反標準次数が正の曲線上の各点を通る有理曲線をジェットから構成し、Miyaoka–Mori判定法に代数的証明を与える。元の曲線類を、点に依存しない正係数を持つ有理曲線と有効サイクルへ数値分解し、その有理曲線の反標準次数を $\dim X+1$ 以下に抑える。

arXiv
2609.28465v1
初回投稿日
2026-09-23
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

標数0の滑らかな射影多様体で、反標準次数が正の曲線上の各点を通る有理曲線をジェットから構成し、Miyaoka–Mori判定法に代数的証明を与える。元の曲線類を、点に依存しない正係数を持つ有理曲線と有効サイクルへ数値分解し、その有理曲線の反標準次数を $\dim X+1$ 以下に抑える。

滑らかな射影多様体 $X$ 上の曲線 $f(C)$ が $-K_X\cdot f_*[C]>0$ を満たすとき、その各点を通る有理曲線を標数0で直接構成する。重み付きジェット空間の負の交点数から正次数のパラメータ直線束を得て、元の曲線類の有効な数値分解へ移る。有理曲線の係数は指定点によらず、反標準次数は $\dim X+1$ 以下である。

以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。

背景と問題設定

本論文は、滑らかな射影多様体 $X$ 上の曲線 $f(C)$ が $-K_X\cdot f_*[C]>0$ を満たすとき、その各点を通る有理曲線を標数0で直接構成する。Introductionは先行研究の到達点と、今回解決される問題または新たに構成される対象を区別している。

主結果

Miyaoka–Mori判定（Theorem 1.1）

標数0の代数閉体上の滑らかな射影多様体 $X$ と非定数射 $f:C\to X$ が $-K_X\cdot f_*[C]>0$ を満たせば、各 $x\in f(C)$ を通る非定数射 $\mathbb P^1\to X$ が存在する。

有効分解（Theorem 1.2）

点に依存しない $\mu>0$ があり、各 $x$ に対し $f_*[C]\equiv \mu R_x+Q_x$ と分解できる。$Q_x$ は有効 $\mathbb Q$-cycle、$R_x$ は $x$ を通る有理曲線で、$-K_X\cdot R_x\leq \dim X+1$ を満たす。

証明の見取り図

重み付きジェット空間のtautological classの負の最高交点から水平曲線を取り、有限被覆上の正次数直線束へ移す。高階係数の消滅で有限ジェットを多項式写像へ延長し、ruled surfaceのファイバーから有理曲線と有効分解を得る。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.28465
  • Introduction: Section 1
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1, Theorem 1.2
  • 確認したarXivバージョン: 2609.28465v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction