代数幾何学 · 2026-09-21
Symmetric differentials and the fundamental group
対称微分と基本群 Yohan Brunebarbe, Bruno Klingler, Burt Totaro yohan-brunebarbe-l5cje6 bruno-klingler-s47nhl burt-totaro-1yubd1v fundamental-groups hodge-theory hyperbolicity positivity Positivity 正値性 Hodge theory ホッジ理論 Hyperbolicity 双曲性 Fundamental groups 基本群arXiv Abstract
Esnault asked whether every smooth complex projective variety with infinite fundamental group has a nonzero symmetric differential (a section of a symmetric power of the cotangent bundle). In a sense, this would mean that every variety with infinite fundamental group has some nonpositive curvature. We show that the answer to Esnault's question is positive when the fundamental group has a finite-dimensional representation over some field with infinite image. This applies to all known varieties with infinite fundamental group. Along the way, we produce many symmetric differentials on the base of a variation of Hodge structures. One interest of these results is that symmetric differentials give information in the direction of Kobayashi hyperbolicity. For example, they limit how many rational curves the variety can contain.
日本語要約
コンパクトKähler多様体 $X$ の基本群が、ある体上の有限次元表現で無限像を持つと仮定する。このとき、ある $i>0$ について $H^0(X,S^i\Omega_X^1) eq0$ である。これは既知の無限基本群を持つ多様体に適用される。
Esnault asked whether every smooth complex projective variety with infinite fundamental group has a nonzero symmetric differential (a section of a symmetric power of the cotangent bundle). In a sense, this would mean that every variety with infinite fundamental group has some nonpositive curvature. We show that the answer to Esnault's question is positive when the fundamental group has a finite-dimensional representation over some field with infinite image. This applies to all known varieties with infinite fundamental group. Along the way, we produce many symmetric differentials on the base of a variation of Hodge structures. One interest of these results is that symmetric differentials give information in the direction of Kobayashi hyperbolicity. For example, they limit how many rational curves the variety can contain.
コンパクトKähler多様体の基本群が有限次元表現を通じて無限像を持つなら、余接束のある正の対称冪に非零切断が存在することを示す。基本群の線形表現、Hodge理論、余接束の正値性を結び、Esnaultの問いに広い範囲で肯定的に答える。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:1204.6443
- 著者: Yohan Brunebarbe, Bruno Klingler, Burt Totaro
- 初回投稿日: 2012-04-29
- 最終更新日: 2013-04-24
- 主分類・副分類: math.AG, math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
コンパクトKähler多様体の基本群が有限次元表現を通じて無限像を持つなら、余接束のある正の対称冪に非零切断が存在することを示す。基本群の線形表現、Hodge理論、余接束の正値性を結び、Esnaultの問いに広い範囲で肯定的に答える。
コンパクトKähler多様体 $X$ の基本群が、ある体上の有限次元表現で無限像を持つと仮定する。このとき、ある $i>0$ について $H^0(X,S^i\Omega_X^1) eq0$ である。これは既知の無限基本群を持つ多様体に適用される。
この紹介はAbstractとIntroductionに記された主張と方法の範囲に限る。後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
第一対称冪の正則1形式は基本群の可換化を検出するが、高い対称冪の幾何学的意味はより微妙である。Esnaultは無限基本群が非零対称微分を強制するかを問うた。
主結果
主定理（Theorem 0.1）
コンパクトKähler多様体 $X$ の $\pi_1(X)$ が、ある体上の有限次元表現で無限像を持つなら、ある $i>0$ に対して
$$H^0(X,S^i\Omega_X^1) eq0$$
が成り立つ。
曲率からの正値性（Theorem 1.1）
正則双断面曲率が非正で、ある一点で正則断面曲率が負なら、$\Omega_X^1$ はnefかつbigである。
証明の見取り図
非剛体な複素表現にはSimpson理論を用いる。剛体表現はHodge構造の変動へ移し、Griffiths--Zuoの方法を余接束のbignessへ強化する。$p$-進表現についてはKatzarkov--Zuoの調和写像による還元を使い、離散モノドロミーの場合へ帰着する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:1204.6443
- Introduction: unnumbered Introduction, pp. 1–4
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 0.1, Theorem 1.1
- 確認したarXivバージョン: 1204.6443v3
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction