複素微分幾何学 · 2026-09-18
Complex algebraic compactifications of the moduli space of Hermitian-Yang-Mills connections on a projective manifold
射影多様体上のHermitian--Yang--Mills接続モジュライの複素代数的コンパクト化 Daniel Greb, Benjamin Sibley, Matei Toma, Richard Wentworth daniel-greb-1qkz61k benjamin-sibley-177iiif matei-toma-2guzuy richard-wentworth-14v7iee hermite-einstein-metrics vector-bundles-sheaves moduli stability Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Moduli and families モジュライ・族 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-EinsteinarXiv Abstract
In this paper we study the relationship between three compactifications of the moduli space of Hermitian-Yang-Mills connections on a fixed Hermitian vector bundle over a projective algebraic manifold of arbitrary dimension. Via the Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem, this space is analytically isomorphic to the moduli space of stable holomorphic vector bundles, and as such it admits an algebraic compactification by Gieseker-Maruyama semistable torsion-free sheaves. A recent construction due to the first and third authors gives another compactification as a moduli space of slope semistable sheaves. In the present article, following fundamental work of Tian generalising the analysis of Uhlenbeck and Donaldson in complex dimension two, we define a gauge theoretic compactification by adding certain ideal connections at the boundary. Extending work of Jun Li in the case of bundles on algebraic surfaces, we exhibit comparison maps from the sheaf theoretic compactifications and prove their continuity. The continuity, together with a delicate analysis of the fibres of the map from the moduli space of slope semistable sheaves allows us to endow the gauge theoretic compactification with the structure of a complex analytic space.
日本語要約
Hermitian--Yang--Mills接続のゲージ理論的コンパクト化をideal connectionによって構成し、二種類の半安定層モジュライからの比較写像を調べる。その結果、ゲージ理論的コンパクト化に複素解析的かつ代数的な構造を与える。
In this paper we study the relationship between three compactifications of the moduli space of Hermitian-Yang-Mills connections on a fixed Hermitian vector bundle over a projective algebraic manifold of arbitrary dimension. Via the Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem, this space is analytically isomorphic to the moduli space of stable holomorphic vector bundles, and as such it admits an algebraic compactification by Gieseker-Maruyama semistable torsion-free sheaves. A recent construction due to the first and third authors gives another compactification as a moduli space of slope semistable sheaves. In the present article, following fundamental work of Tian generalising the analysis of Uhlenbeck and Donaldson in complex dimension two, we define a gauge theoretic compactification by adding certain ideal connections at the boundary. Extending work of Jun Li in the case of bundles on algebraic surfaces, we exhibit comparison maps from the sheaf theoretic compactifications and prove their continuity. The continuity, together with a delicate analysis of the fibres of the map from the moduli space of slope semistable sheaves allows us to endow the gauge theoretic compactification with the structure of a complex analytic space.
射影多様体上のHermitian--Yang--Mills接続のモジュライに対し、ideal connectionを加えたゲージ理論的コンパクト化を構成する。Gieseker--Maruyamaコンパクト化と傾き半安定層のコンパクト化から比較写像を作り、ゲージ理論的空間に複素解析空間、さらに代数空間由来の構造を与える。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:1810.00025
- 著者: Daniel Greb, Benjamin Sibley, Matei Toma, Richard Wentworth
- 初回投稿日: 2018-09-28
- 最終更新日: 2020-09-02
- 主分類・副分類: math.DG, math.AG, math.CV（主分類: math.DG）
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Donaldson--Uhlenbeck--Yau対応は安定正則ベクトル束とHermitian--Yang--Mills接続を結ぶが、退化を含むコンパクト化では層論とゲージ理論の境界を比較する必要がある。
任意次元の射影多様体上でideal HYM connectionを境界に加えたコンパクト空間を構成し、Gieseker--Maruyama半安定層および傾き半安定層のモジュライから連続写像を作る。
写像のファイバーを解析することで、ゲージ理論的コンパクト化に複素解析空間構造を与え、それが代数空間の解析化であることを示す。
背景と問題設定
二次元ではUhlenbeckコンパクト化と層モジュライの関係が知られる。本論文はTianの高次元解析を用い、バブリングを余次元二の解析cycleと反射層で記録する。
主結果
ゲージ理論的コンパクト化（Theorem 1.1）
固定Hermitian束のHYM接続モジュライにideal connectionを加えた空間 $\overline{M}_{HYM}$ はコンパクトHausdorff空間となる。
複素・代数構造（Theorem 1.2, Corollary 1.3）
$\overline{M}_{HYM}$ は複素解析空間構造をもち、さらにある代数空間の解析化として実現される。
証明の見取り図
Uhlenbeck収束で反射層とバブリングcycleを抽出し、層論的コンパクト化から比較写像を構成する。連続性を示した後、傾き半安定層モジュライからの写像のファイバーを記述し、適切な有限同値関係の商として解析構造を降ろす。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:1810.00025
- Introduction: Section 1
- 確認したarXivバージョン: v3
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction