代数幾何学 · 2026-09-11

Stability conditions on threefolds with vanishing Chern classes

Chern類が消える三次元多様体上の安定性条件

Hao Max Sun

hao-max-sun-12heay3 positive-characteristic vector-bundles-sheaves stability chern-classes Positive characteristic 正標数 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

We prove the Bogomolov-Gieseker type inequality conjectured by Bayer, Macri and Toda for threefolds with semistable tangent bundles and vanishing Chern classes in any characteristic, which was originally proved by Bayer, Macri and Stellari in characteristic zero. This gives the existence of Bridgeland stability conditions on such threefolds. As applications, we obtain Reider type theorem and confirm Fujita's conjecture for such threefolds in any characteristic.

日本語要約

接束が半安定でChern類が消える三次元多様体について、Bayer–Macrì–Todaが予想したBogomolov–Gieseker型不等式を任意標数で証明する。標数零ではBayer–Macrì–Stellariにより既知であった結果を正標数へ拡張し、この種の三次元多様体上でBridgeland安定性条件の存在を得る。応用としてReider型定理を示し、任意標数でFujita予想を確認する。

We prove the Bogomolov-Gieseker type inequality conjectured by Bayer, Macri and Toda for threefolds with semistable tangent bundles and vanishing Chern classes in any characteristic, which was originally proved by Bayer, Macri and Stellari in characteristic zero. This gives the existence of Bridgeland stability conditions on such threefolds. As applications, we obtain Reider type theorem and confirm Fujita's conjecture for such threefolds in any characteristic.

標数を問わず、接束が斜率半安定でChern類が数値的に消える滑らかな射影三次元多様体に対し、Bayer–Macrì–Toda型Bogomolov–Gieseker不等式を証明する。これによりBridgeland安定性条件の存在を得て、Reider型消滅定理とFujita予想を導く。

arXiv
2006.00756v3
初回投稿日
2020-06-01
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

三次元多様体上のBridgeland安定性条件の構成は、tilt安定対象の第三Chern指標に対するBogomolov–Gieseker型不等式へ還元される。本論文は、接束が半安定でChern類が消える三次元多様体について、この不等式を任意標数で確立する。

対象は代数閉体上の滑らかな射影三次元多様体 $X$ で、$K_X\sim_{\mathrm{num}}0$、$Hc_2(X)=0$、$T_X$ が $\mu_H$-半安定という仮定を置く。標数零では有限étale Abel被覆を通じて既知結果へ帰着するが、正標数ではそのような特徴づけがなく、本結果が新しい内容をもつ。

主不等式からBridgeland安定性条件の存在が従う。さらにReider型のコホモロジー消滅を経由して、$K_X+mH$ の大域生成性とvery amplenessについてFujita予想の境界を得る。

背景と問題設定

Bayer–Macrì–Todaの構成では、$\nu_{\alpha,\beta}$-安定対象に対する第三Chern指標の上界が中心となる。元の不等式には一般三次元多様体上で反例があるため、本論文はChern類の消滅と接束の半安定性という構造的仮定のもとで成立を証明する。

主結果

Bogomolov–Gieseker型不等式（Theorem 1.1）

$X$ を代数閉体上の滑らかな射影三次元多様体、$H$ をample因子とする。$K_X\sim_{\mathrm{num}}0$、$Hc_2(X)=0$、$T_X$ が $\mu_H$-半安定であると仮定する。$\nu_{\alpha,\beta}$-安定対象 $E$ が $\nu_{\alpha,\beta}(E)=0$ を満たすならば、

$$ \operatorname{ch}_3^\beta(E)\leq\frac{\alpha^2}{6}H^2\operatorname{ch}_1^\beta(E) $$

が成り立つ。これは正標数も含み、仮定のもとでBridgeland安定性条件の存在を与える。

Fujita予想への応用（Corollary 1.4）

Theorem 1.1の状況では、

$$ \mathcal O_X(K_X+mH)\text{ は }m\geq4\text{ で大域生成され、}m\geq5\text{ でvery ampleである。} $$

この結論は任意標数で成立する。

証明の見取り図

正標数 $p$ では、Frobenius写像の反復 $F^n$ による $E$ の引き戻しについてEuler標数 $\chi(\mathcal O_X,(F^n)^*E)$ を計算する。Riemann–Rochによりその主要項は $p^{3n}\operatorname{ch}_3(E)$ である一方、特定の局所自由層のFrobenius順像のtilt安定性からExt群を $O(p^{2n})$ で評価する。$n\to\infty$ として第三Chern指標の不等式を得て、標数零はspreading outで導く。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2006.00756
  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1; Corollaries 1.2, 1.4, 1.5
  • 論文構成の説明: p. 3
  • 確認したarXivバージョン: v3
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction