代数幾何学 · 2026-09-04
Log canonical models of a fixed variety with varying boundaries
境界を動かした固定多様体のlog canonical model Xingying Li, Zhan Li xingying-li-13jatdz zhan-li-1ighk6r birational-geometry minimal-model-program singularities Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Minimal model program 極小モデル・プログラムarXiv Abstract
Motivated by extending the Morrison-Kawamata cone conjecture beyond Calabi-Yau varieties and Severi-Maehara type results on finiteness of surjective targets not necessarily of general type, we fix a smooth projective variety and study the finiteness of its log canonical models as klt boundaries vary. Neither extension holds in full generality. We prove finiteness for smooth projective surfaces that are either of general type or irregular. Conversely, for each $\kappa\in\{-\infty,0,1\}$, we construct a smooth projective non-minimal surface of Kodaira dimension $\kappa$ with infinitely many log canonical models, while finiteness holds for a large class of minimal surfaces. In higher dimensions, we construct a smooth threefold with ample canonical divisor and infinitely many log canonical models, contrasting with Tsai's theorem that only finitely many such models can be smooth.
日本語要約
Morrison--Kawamata cone予想をCalabi--Yau多様体の外へ拡張する問題と、一般型とは限らない全射像に対するSeveri--Maehara型有限性に動機を得て、滑らかな射影多様体を固定し、klt境界を動かしたときのlog canonical modelの有限性を調べる。一般型または不正則な滑らかな射影曲面では有限性を証明する。一方、Kodaira次元 $-\infty,0,1$ のそれぞれについて無限個のlog canonical modelを持つ滑らかな非極小曲面を構成し、極小曲面の広いクラスでは有限性を示す。高次元では、豊富な標準因子を持ちながら無限個のlog canonical modelを持つ滑らかな三次元多様体を構成する。
Motivated by extending the Morrison-Kawamata cone conjecture beyond Calabi-Yau varieties and Severi-Maehara type results on finiteness of surjective targets not necessarily of general type, we fix a smooth projective variety and study the finiteness of its log canonical models as klt boundaries vary. Neither extension holds in full generality. We prove finiteness for smooth projective surfaces that are either of general type or irregular. Conversely, for each $\kappa\in\{-\infty,0,1\}$, we construct a smooth projective non-minimal surface of Kodaira dimension $\kappa$ with infinitely many log canonical models, while finiteness holds for a large class of minimal surfaces. In higher dimensions, we construct a smooth threefold with ample canonical divisor and infinitely many log canonical models, contrasting with Tsai's theorem that only finitely many such models can be smooth.
滑らかな射影多様体を固定し、klt境界を動かしたときにlog canonical modelの同型類が有限かを調べる。一般型または不正則な滑らかな射影曲面では有限性を示す一方、非極小曲面と標準因子が豊富な滑らかな三次元多様体に無限個のmodelを持つ反例を構成する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.03305
- 著者: Xingying Li, Zhan Li
- 初回投稿日: 2026年9月3日
- 最終更新日: 2026年9月3日
- 主分類・副分類: math.AG（主分類）
- ライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
要約
射影klt対 $(X,\Delta)$ ではlog canonical ringの有限生成により、$K_X+\Delta$ のKodaira次元が非負ならlog canonical modelが定まる。本論文は $X$ を固定し、許されるklt境界 $\Delta$ をすべて動かしたとき、modelの標的の同型類が有限個に留まるかを問う。
曲面では、Calabi--Yau、一般型、不正則の各場合に有限性を証明し、任意の滑らかな射影曲面について曲線を標的とするmodelだけなら有限であることも示す。極小曲面については、底が $\mathbb P^1$ の極小properly elliptic surfaceを除いて有限性を得る。
しかし非極小性を許すと、Kodaira次元 $-\infty,0,1$ の各値で無限個のmodelを持つ曲面が存在する。さらに高次元では、標準因子が豊富な滑らかな三次元多様体でさえ三次元標的が無限個現れる。これは単純な高次元一般化を否定し、標的特異点への追加条件が必要であることを示唆する。
背景と問題設定
$X$ を正規射影多様体とし、
$$ \mathcal C(X)={[Y]\mid X\dashrightarrow Y\text{ is the log canonical model of some klt pair }(X,\Delta)} $$
と定める。ここでは有理写像そのものではなく標的 $Y$ の同型類だけを記録する。固定polytope内の境界ならMMPのgeographyにより有限個のchamberで制御できるが、すべての境界を動かす大域的有限性は自明でない。この問いはcone予想とSeveri--Maehara型定理の双方を拡張する位置にある。
主結果
曲面における有限性（Theorem 1.2）
滑らかな射影曲面 $X$ がCalabi--Yau、一般型、または不正則ならば $\mathcal C(X)$ は有限である。さらに任意の滑らかな射影曲面について、1次元標的だけを集めた $\mathcal C_1(X)$ は有限である。
非極小曲面の反例（Theorem 1.3）
各
$$ \kappa\in{-\infty,0,1} $$
について、$\kappa(X_\kappa)=\kappa$ かつ $\mathcal C(X_\kappa)$ が無限となる滑らかな射影非極小曲面 $X_\kappa$ が存在する。一般点のblow-upが自己同型群を小さくしながら有効錐を複雑にすることが、この現象の背景にある。
極小曲面（Theorem 1.4）
滑らかな射影極小曲面 $X$ では、$X$ が $\mathbb P^1$ 上の極小properly elliptic surfaceである場合を除き、$\mathcal C(X)$ は有限である。残る場合の全面的有限性はQuestion 1.5として提示される。
三次元反例（Theorem 1.6）
$K_V$ が豊富な滑らかな射影三次元多様体 $V$ で、$\mathcal C_3(V)$ が無限となるものが存在する。無限個のmodelはsmall contractionから得られ、滑らかな標的だけなら有限であるという既知定理と対照的である。
証明の見取り図
Calabi--Yau曲面ではcone予想による有効錐の有理多面体基本領域をMMP chamberへ分割する。一般型曲面では負自己交差を持つ有理曲線の有限性から、収縮可能な曲線集合を有限化する。不正則曲面と極小曲面は分類に沿って処理する。反例側ではblow-upとsmall contractionを用い、異なる境界が互いに非同型な標的を無限に生むよう構成する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.03305
- Introduction: Section 1, pp. 1–4
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.2, 1.3, 1.4, 1.6; Questions 1.1, 1.5
- 論文構成の説明: Introduction, pp. 3–4
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
- source_scope: Abstract and Introduction