代数幾何学 · 2026-09-01
Orbifold modifications of complex analytic varieties
複素解析多様体のオービフォールド修正 Wenhao Ou wenhao-ou-e68yw1 singularities complex-analytic-spaces vector-bundles-sheaves stability chern-classes Singularities 特異点・特異性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Complex analytic spaces 複素解析空間 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbersarXiv Abstract
We prove that if $X$ is a compact complex analytic variety, which has quotient singularities in codimension 2, then there is a projective bimeromorphic morphism $f\colon Y\to X$, such that $Y$ has quotient singularities, and that the indeterminacy locus of $f^{-1}$ has codimension at least 3 in $X$. As an application, we deduce the Bogomolov-Gieseker inequality on orbifold Chern classes for stable reflexive coherent sheaves on compact Kähler varieties which have quotient singularities in codimension 2.
日本語要約
$X$ が余次元2で商特異点をもつコンパクト複素解析多様体ならば、商特異点をもつ $Y$ から $X$ への射影的双有理射 $f:Y\to X$ が存在し、$f^{-1}$ の不定値集合は $X$ 内で余次元3以上となる。この構成から、同じ特異点条件をもつコンパクトKähler多様体上の安定反射的連接層について、オービフォールドChern類のBogomolov–Gieseker不等式が従う。
We prove that if $X$ is a compact complex analytic variety, which has quotient singularities in codimension 2, then there is a projective bimeromorphic morphism $f\colon Y\to X$, such that $Y$ has quotient singularities, and that the indeterminacy locus of $f^{-1}$ has codimension at least 3 in $X$. As an application, we deduce the Bogomolov-Gieseker inequality on orbifold Chern classes for stable reflexive coherent sheaves on compact Kähler varieties which have quotient singularities in codimension 2.
余次元2で商特異点をもつコンパクト複素解析多様体に対し、商特異点のみをもつ空間からの射影的双有理射を構成する。逆写像の不定値集合を余次元3以上に抑えることで、コンパクトKähler多様体上の安定反射的連接層に対するオービフォールドChern類のBogomolov–Gieseker不等式へ応用する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2401.07273
- 著者: Wenhao Ou
- 初回投稿日: 2024年1月14日
- 最終更新日: 2025年12月24日
- 主分類・副分類: math.AG（主分類）, math.CV
- ライセンス: CC0 1.0 Universal
要約
安定ベクトル束のChern類を制約するBogomolov–Gieseker不等式は、射影多様体では超平面切断によって高次元へ運べる。しかし一般のコンパクトKähler空間には十分な超平面がなく、同じ代数的手法は使えない。
本論文は、余次元2で商特異点をもつコンパクト複素解析多様体を、余次元2の情報を保ったまま商特異点だけをもつ空間で置き換える。このオービフォールド修正が、解析的設定でのChern類不等式を得るための橋となる。
構成は正次元代数群の作用やGITに依存しない。局所index-one cover、複素解析orbispaces、Du Val特異点の族、MMPとdlt修正を組み合わせ、非射影的な解析空間にも適用できる形を作る。
背景と問題設定
射影多様体 $X$、階数 $r$ の $H$-安定ベクトル束 $F$ に対する古典的な不等式は
$$ \left(c_2(F)-\frac{r-1}{2r}c_1(F)^2\right)\cdot H^{n-2}\geq0 $$
である。Kähler多様体上ではHermite–Einstein計量により、滑らかな場合に対応する積分不等式が得られる。問題は、余次元2に商特異点を許す反射的層へこれを拡張する際、一般のKähler空間では超平面切断が使えないことである。
主結果
既知のBogomolov–Gieseker不等式（Theorem 1.1）
IntroductionのTheorem 1.1は主結果の背景として、射影多様体上の安定ベクトル束について上記のChern類不等式を記録する。本論文の新しい修正定理は、この不等式のオービフォールド版を解析的環境へ移すために設計されている。
オービフォールド修正定理（Theorem 1.2）
コンパクト複素解析多様体 $X$ が余次元2で商特異点をもつ、すなわち余次元3以上の閉解析集合 $V$ があり $X\setminus V$ が商特異点をもつとする。このとき射影的双有理射
$$ f:Y\longrightarrow X $$
で、$Y$ が商特異点をもち、$f^{-1}$ の不定値集合が $X$ 内で余次元3以上となるものが存在する。したがって余次元2で定義されるオービフォールドChern類の情報を修正上で扱える。
証明の見取り図
Introductionは構成を五段階で説明する。まず特異集合の余次元2成分を互いに交わらないようにし、MMPでklt特異点へ還元する。局所index-one coverにより標準特異点を得て、orbispacesの言葉で局所構成を貼り合わせる。次に特異点を超曲面型へ修正し、定義方程式をDu Val特異点の族に似た形へ整える。その準エタール被覆を構成した後、退化因子をdlt被約因子に包み込む修正を施して有限被覆を制御し、定理へ到達する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2401.07273
- Introduction: Section 1, pp. 1–3
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.2
- 論文構成の説明: Introduction, pp. 2–3
- 確認したarXivバージョン: v6
- 確認したライセンス: CC0 1.0 Universal
- source_scope: Abstract and Introduction