代数幾何学 · 2026-08-22
Global smoothing of singular Fano and Calabi-Yau varieties
特異Fano・Calabi–Yau多様体の大域的平滑化 Anda Tenie anda-tenie-esmliw singularities fano-varieties calabi-yau-geometry hodge-theory moduli Singularities 特異点・特異性 Moduli and families モジュライ・族 Fano varieties ファノ多様体 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何 Hodge theory ホッジ理論arXiv Abstract
We study the problem of smoothing Fano and Calabi-Yau varieties with isolated Du Bois lci singularities. For Fano varieties, we show that any such $Y$ admits a deformation to a Fano variety with only $1$-rational singularities, and if none of the singularities of $Y$ are $1$-rational, then $Y$ is smoothable. For Calabi-Yau varieties, we show first that any such $Y$ deforms to a Calabi-Yau with only $1$-Du Bois singularities. Moreover, if none of the singularities of $Y$ are $1$-Du Bois then $Y$ is smoothable. When we allow $1$-liminal singularities, we give a global criterion in terms of the Hodge-Du Bois numbers of $Y$ which ensures that $Y$ is smoothable. These theorems recover and generalize results for threefolds of Friedman, Namikawa, Namikawa-Steenbrink, Gross, and Friedman-Laza. In higher dimensions, our results provide alternative smoothing conditions and also extend the work of Friedman-Laza from the case of rational hypersurface singularities to Du Bois lci singularities.
日本語要約
孤立Du Bois lci特異点をもつFano・Calabi–Yau多様体の平滑化問題を研究する。Fanoの場合は1-rational特異点だけをもつ多様体へ変形でき、元の特異点が一つも1-rationalでなければ平滑化可能である。Calabi–Yauの場合は1-Du Bois特異点だけをもつ多様体へ変形でき、元の特異点が一つも1-Du Boisでなければ平滑化可能である。1-liminal特異点を許す場合には、Hodge–Du Bois数による大域的平滑化判定条件を与える。
We study the problem of smoothing Fano and Calabi-Yau varieties with isolated Du Bois lci singularities. For Fano varieties, we show that any such $Y$ admits a deformation to a Fano variety with only $1$-rational singularities, and if none of the singularities of $Y$ are $1$-rational, then $Y$ is smoothable. For Calabi-Yau varieties, we show first that any such $Y$ deforms to a Calabi-Yau with only $1$-Du Bois singularities. Moreover, if none of the singularities of $Y$ are $1$-Du Bois then $Y$ is smoothable. When we allow $1$-liminal singularities, we give a global criterion in terms of the Hodge-Du Bois numbers of $Y$ which ensures that $Y$ is smoothable. These theorems recover and generalize results for threefolds of Friedman, Namikawa, Namikawa-Steenbrink, Gross, and Friedman-Laza. In higher dimensions, our results provide alternative smoothing conditions and also extend the work of Friedman-Laza from the case of rational hypersurface singularities to Du Bois lci singularities.
孤立Du Bois lci特異点をもつFano・Calabi–Yau多様体の局所平滑化方向を大域変形へ持ち上げる条件を与える。特に1-rationalまたは1-Du Bois特異点への変形を構成し、Hodge–Du Bois数の等式からCalabi–Yau多様体の平滑化を導く。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2602.07615
- 著者: Anda Tenie
- 初回投稿日: 2026年2月7日
- 最終更新日: 2026年5月5日
- 主分類・副分類: math.AG（主分類）
- ライセンス: CC BY 4.0
要約
特異多様体の各孤立点が局所的な平滑化方向をもっていても、それらが全特異点を同時に滑らかにする一つの大域変形へ貼り合わさるとは限らない。本論文は、孤立Du Bois lci特異点をもつ次元3以上のFanoおよびCalabi–Yau多様体で、この局所・大域問題を扱う。
Calabi–Yauの場合、まず1-Du Bois特異点だけをもつ多様体へ変形できる。元の特異点がどれも1-Du Boisでなければ大域条件なしで平滑化でき、1-liminal特異点を許す場合にはHodge–Du Bois数の等式が大域条件となる。
Fanoの場合には1-rational特異点だけをもつFano多様体へ変形でき、元の特異点がどれも1-rationalでなければ平滑化できる。三次元ではこれにより、孤立Du Bois lci特異点をもつFano三次元多様体が平滑化可能となる。
結果は三次元におけるFriedman、Namikawa、Namikawa–Steenbrink、Grossらの定理を回収・拡張し、高次元では有理超曲面特異点からDu Bois lci特異点へ適用範囲を広げる。
背景と問題設定
本論文で特異Fano多様体とは、孤立Du Bois lci特異点をもち $\omega_Y^{-1}$ がampleな次元 $n\ge3$ の射影多様体である。特異Calabi–Yau多様体は、同じ特異点条件に加え
$$ \omega_Y\simeq\mathcal O_Y,\qquad H^1(Y,\mathcal O_Y)=0 $$
を満たす。Hodge–Du Bois数はDu Bois複体の次数付き部分を用いて
$$ h^{p,q}(Y):=\dim_{\mathbb C}H^q(Y,\underline\Omega_Y^p) $$
と定義され、特異空間におけるHodge数の代替となる。
主結果
Calabi–Yauの平滑化（Theorem 1.3 / Theorem 4.6）
孤立Du Bois lci特異点をもつ特異Calabi–Yau多様体 $Y$ は、1-Du Bois特異点だけをもつCalabi–Yauへ変形できる。さらに $Y$ の各特異点が1-Du Boisでなければ $Y$ は平滑化可能で、任意の小平滑化はCalabi–Yauである。
Hodge–Du Bois数による判定（Theorem 1.4 / Theorem 4.8）
次元 $n$ の $Y$ が
$$ h^{n-1,2}(Y)=h^{1,n-2}(Y) $$
を満たすなら、1-rational特異点だけをもつCalabi–Yauへ変形できる。さらに元の特異点がどれも1-rationalでなければ平滑化可能である。三次元では条件は $h^{2,2}(Y)=h^{1,1}(Y)$ となり、既知の場合の $\mathbb Q$-因子性に対応する。
Fanoの平滑化（Theorem 1.5 / Theorem 3.7）
孤立Du Bois lci特異点をもつ特異Fano多様体は、1-rational特異点だけをもつFano多様体へ変形できる。元の特異点がどれも1-rationalでなければ $Y$ は平滑化可能で、任意の小平滑化はFanoである。
変形の非障害性（Theorem 1.7 / Theorem 3.1）
孤立lci特異点をもつFano多様体では
$$ T_Y^i=0\qquad(i\ge2) $$
が成り立ち、特に変形は非障害的である。
証明の見取り図
大域一次変形 $T_Y^1=\operatorname{Ext}^1(\Omega_Y^1,\mathcal O_Y)$ から各特異点の局所変形空間 $T_{Y,x}^1$ への写像を調べる。孤立lci特異点では局所変形が非障害的なので、問題は各局所平滑化方向を捉える大域classの構成となる。強log解消と局所コホモロジー列、Hodge–Du Bois理論を用いて持ち上げを制御し、Calabi–Yauの場合の数値等式は必要な大域写像の消滅を保証する。Fanoの場合にはNakano型消滅が非障害性と大域化を支える。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2602.07615
- Introduction: Section 1, pp. 1–8
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.3–1.7, 1.11; Corollaries 1.16–1.18
- 論文構成の説明: Section 1.4, pp. 6–8
- 確認したarXivバージョン: v2
- 確認したライセンス: CC BY 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction