複素微分幾何学 · 2026-08-21

Uniform estimates for complex Monge-Ampère equations: big cohomology classes

big cohomology classにおける複素Monge–Ampère方程式の一様評価

Quang-Tuan Dang, Lei Zhang, Bin Zhou

quang-tuan-dang-svdggs lei-zhang-v3v53r bin-zhou-1ue0dmo monge-ampere-equations pluripotential-theory Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

We prove uniform a priori estimates for solutions to degenerate complex Monge--Ampère equations in big cohomology classes, using both auxiliary-function technique developed by Guo, Phong and Tong [On $L^\infty$-estimates for complex Monge-Ampère equations, Ann. of Math. (2) 198 (2023), no.1, 393-418], and quasi-psh envelope approach developed by Guedj and Lu [Quasi-plurisubharmonic envelopes 1: Uniform estimates on Kähler manifolds, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 27 (2025), no. 3, 1185-1208.]. As an application, we apply our method to prove the Moser-Trudinger and Brezis-Merle-type inequalities for complex Monge-Ampère equations.

日本語要約

big cohomology classにおける退化複素Monge–Ampère方程式の解に対し、広いOrlicz classの密度の下で一様a priori estimateを証明する。さらにMoser–Trudinger型およびBrezis–Merle型不等式を得る。

We prove uniform a priori estimates for solutions to degenerate complex Monge--Ampère equations in big cohomology classes, using both auxiliary-function technique developed by Guo, Phong and Tong [On $L^\infty$-estimates for complex Monge-Ampère equations, Ann. of Math. (2) 198 (2023), no.1, 393-418], and quasi-psh envelope approach developed by Guedj and Lu [Quasi-plurisubharmonic envelopes 1: Uniform estimates on Kähler manifolds, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 27 (2025), no. 3, 1185-1208.]. As an application, we apply our method to prove the Moser-Trudinger and Brezis-Merle-type inequalities for complex Monge-Ampère equations.

big cohomology class上の退化複素Monge–Ampère方程式について、Orlicz密度の下で解のminimal singularityからの一様評価を証明する。auxiliary function法とquasi-psh envelope法を組み合わせ、Brezis–Merle型指数積分評価も導く。

arXiv
2608.19600v1
初回投稿日
2026-08-20
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

bigだがnefとは限らないcohomology classでは、基準potential自身が特異となり、古典的なmaximum principleを直接使いにくい。本論文はOrlicz密度をもつ退化complex Monge–Ampère方程式に定量的一様評価を与える。

Guo–Phong–Tongのauxiliary-function techniqueとGuedj–Luのquasi-psh envelope approachを結合することが新規性である。さらに指数積分可能性とenergy estimateを同じ枠組みから得る。

背景と問題設定

$\theta$ をbig classを表すclosed real $(1,1)$-formとし、full-mass solution $\varphi$ を

$$ \operatorname{MA}_\theta(\varphi)=\mu,\qquad \sup_X\varphi=-1 $$

で定める。$V_\theta$ はminimal singularitiesをもつenvelopeである。

主結果

一様評価（Theorem A）

$\theta\leq A\omega_X$、$\mu=f,dV$、$f$ がcondition (K)を満たすOrlicz spaceに属するとき、minimal singularitiesをもつ一意解が存在し、

$$ \varphi\geq V_\theta-C $$

が成り立つ。$C$ の依存量はIntroductionに明記された背景dataと $|f|_w$ に限られる。

指数積分評価（Theorem B）

$w(t)=t(\log(1+t))^p$ の場合、$0\leq p<n$ なら

$$ \int_X e^{c(V_\theta-\varphi)^{n/(n-p)}}\omega_X^n\leq C $$

を得る。$p\geq n$ では任意の正指数 $N$ に対する対応する評価が成立する。

証明の見取り図

sublevel set上に重みを集中したauxiliary Monge–Ampère equationを解き、その解をquasi-psh envelopeで元の解と比較する。まず $L^{1+\varepsilon}$ 密度でDe Giorgi型反復を行い、その後Orlicz条件をこの場合へ還元する。

原論文との対応

  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • 主要結果: Theorems A, B
  • Abstractページ: arXiv:2608.19600
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction