代数幾何学 · 2026-08-18
Log Calabi--Yau manifolds: holomorphic tensors, stability and universal cover
log Calabi–Yau多様体：正則tensor、安定性、普遍被覆 Tristan C. Collins, Henri Guenancia tristan-c-collins-17t0rbt henri-guenancia-12tce4i calabi-yau-geometry noncompact-kahler-geometry stability curvature fundamental-groups Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Curvature geometry 曲率幾何 Noncompact Kähler geometry 非コンパクトKähler幾何 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何 Fundamental groups 基本群arXiv Abstract
We study various geometric properties of log Calabi-Yau manifolds, i.e. log smooth pairs $(X,D)$ such that $K_X+D=0$. More specifically, we focus on the two cases where $X$ is a Fano manifold and $D$ is either smooth or has two proportional components. Despite the existence of a complete Ricci flat Kähler metric on $X\setminus D$ in both cases, we will show that the geometric properties of the pair $(X,D)$ are vastly different, e.g. validity of Bochner principle, local triviality of the quasi-Albanese map, polystability of $T_X(-\log D)$ and compactifiability of the universal cover of $X\setminus D$. When $D$ has two components we show that the universal cover of $X\setminus D$ is a Calabi-Yau manifold of infinite topological type, and we describe the geometry at infinity from a Riemannian point of view.
日本語要約
反標準因子 $D$ を除いたFano多様体 $X\setminus D$ の完備Ricci-flat Kähler幾何を、$D$ が滑らかな場合と比例する2成分の場合で比較する。滑らかな場合にはTian–Yau計量のholonomyが $SU(n)$ で、log tensorのBochner原理とlog接束の安定性が成り立つ。2成分の場合にはquasi-Albanese写像の局所自明性、log接束の多重安定性、普遍被覆のコンパクト化可能性が破れ、普遍被覆の中間homologyが無限rankとなる。さらにliftした計量の漸近錐と体積増大を記述する。
We study various geometric properties of log Calabi-Yau manifolds, i.e. log smooth pairs $(X,D)$ such that $K_X+D=0$. More specifically, we focus on the two cases where $X$ is a Fano manifold and $D$ is either smooth or has two proportional components. Despite the existence of a complete Ricci flat Kähler metric on $X\setminus D$ in both cases, we will show that the geometric properties of the pair $(X,D)$ are vastly different, e.g. validity of Bochner principle, local triviality of the quasi-Albanese map, polystability of $T_X(-\log D)$ and compactifiability of the universal cover of $X\setminus D$. When $D$ has two components we show that the universal cover of $X\setminus D$ is a Calabi-Yau manifold of infinite topological type, and we describe the geometry at infinity from a Riemannian point of view.
反標準因子を除いたFano多様体上の完備Ricci-flat Kähler計量がもたらす幾何を、因子が滑らかな場合と比例する2成分をもつ場合で比較する。前者ではBochner原理とlog接束の安定性を得る一方、後者ではそれらやquasi-Albanese写像の局所自明性が破れ、普遍被覆の無限位相型と無限遠幾何を示す。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2509.07508
- 著者: Tristan C. Collins, Henri Guenancia
- 初回投稿日・最終更新日: 2025年9月9日（v1）
- 主分類・副分類: math.AG（主分類）、math.CV、math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
コンパクトCalabi–Yau幾何ではRicci-flat Kähler計量からBochner原理、接束の多重安定性、Albanese写像、普遍被覆の分解が得られる。本論文は反標準因子の補空間という非コンパクトlog Calabi–Yauで、これらがどこまで残るかを問う。
滑らかな反標準因子の場合、Tian–Yau計量のholonomyは $SU(n)$ で、log tensorにBochner原理が成立し、$T_X(-\log D)$ は $-K_X$ に関して安定となる。
対照的に、反標準因子が比例する2成分をもつ場合、Collins–Li計量が存在してもquasi-Albanese写像の局所自明性やlog接束の多重安定性が失敗する例が得られる。普遍被覆は無限位相型をもち、コンパクト複素多様体の解析的Zariski開集合にはならない。
さらに普遍被覆上のlift計量についてholonomy、漸近錐、体積増大を計算し、元の空間とは異なる無限遠幾何を明らかにする。
主結果
滑らかな因子（Theorem A）
$n\ge2$ 次元Fano多様体、滑らかな $D\in|-K_X|$、Tian–Yau計量 $\omega_{TY}$ に対し、holonomyは $SU(n)$ である。任意のlog tensor bundle
$$ E=T_X(-\log D)^{\otimes p}\otimes\Omega_X(\log D)^{\otimes q} $$
の正則切断は補空間上で平行となり、$T_X(-\log D)$ は $-K_X$ に関して安定である。
2成分の場合の破れ（Theorem B）
奇数 $n\ge3$ と一般の次数 $(n+1)/2$ の超曲面 $D_1,D_2\subset\mathbb P^n$ に対し、$D=D_1+D_2$ とすると、quasi-Albanese写像は局所自明でなく、$T_X(-\log D)$ は多重安定でなく、$X\setminus D$ の普遍被覆はコンパクト複素多様体の解析的Zariski開集合に双正則でない。
普遍被覆の無限遠（Theorem C）
一般の比例する2成分の場合、Collins–Li計量のholonomyは $SU(n)$。普遍被覆の漸近錐は
$$ (\mathbb R_{>0})^2\times\mathbb R, \qquad g_\infty+h(x_1,x_2)dt^2 $$
の形で、半径 $R$ の球の体積増大は $R^{6n/(n+2)}$ のorderである。
証明の見取り図
滑らかな場合は計量の漸近形から平行形式を排除し、有限基本群とholonomy分類を組み合わせる。2成分の場合はquasi-Albanese fibrationの特異fiberを指数写像で無限被覆へ持ち上げ、vanishing cycleとdeck変換から独立な中間cycleを作る。漸近錐では無限巡回方向がほどけて実直線因子として残り、体積増大の指数を変える。
原論文との対応
- Introduction: Section 1, pp. 1–6
- 主要定理: Theorems A, B, C
- 確認version: v1
- source_scope: Abstract and Introduction