代数幾何学 · 2026-08-15

Fundamental groups of compact Kahler varieties with nef anti canonical bundle

反標準束がnefなコンパクトKähler多様体の基本群

Xin Fu, Bin Guo, Jian Song, Juanyong Wang

xin-fu-1dir66h bin-guo-5qv1tn jian-song-1io122w juanyong-wang-1qvqd2f singularities positivity fundamental-groups Singularities 特異点・特異性 Positivity 正値性 Fundamental groups 基本群

arXiv Abstract

It is proved by M. Paun (1997, 2017) that the fundamental group of a compact Kahler manifold X is almost Abelian if the anti-canonical bundle -KX is nef. In this paper, we apply the recent geometric analytic theory of Kahler spaces developed by Guo-Phong-Song-Sturm to study fundamental groups of mildly singular compact Kahler varieties. We first extend Paun's result to log canonical pairs (X,Delta) with smooth X and nef -(KX+Delta) as well as to compact Kahler manifolds X with pseudo-effective -KX under a suitable assumption on the singularities of c1(-KX). We further prove that, for a 3-dimensional log canonical pair (X,Δ) with X being klt, pi 1(X) is almost Abelian if -(KX+Δ) is nef. Moreover, as one of the main ingredients for the proof of these results, we establish the surjectivity of the Albanese maps of compact normal complex varieties X in Fujiki class C that admits an effective R-divisor Δsuch that the pair (X,Δ) is log canonical with nef anti-log canonical divisor -(KX+Δ).This generalizes the corresponding theorems for projective varieties (Zhang, 2005), for klt pairs (Matsumura-Wang-Wu-Zhang, 2025) and for log smooth case (Fu-Han-Zou, 2025)

日本語要約

nefな反対数標準因子をもつlc対の基本群を研究し、基礎空間がkltである場合にKähler RCD空間に関する予想の下で基本群がほとんど可換になることを示す。基礎空間が滑らかな場合と複素三次元の場合には予想を検証して無条件の結論を得る。さらにFujiki類の正規複素多様体に対し、Albanese写像の任意の滑らかなモデルが連結ファイバーをもつ全射になることを証明する。

It is proved by M. Paun (1997, 2017) that the fundamental group of a compact Kahler manifold X is almost Abelian if the anti-canonical bundle -KX is nef. In this paper, we apply the recent geometric analytic theory of Kahler spaces developed by Guo-Phong-Song-Sturm to study fundamental groups of mildly singular compact Kahler varieties. We first extend Paun's result to log canonical pairs (X,Delta) with smooth X and nef -(KX+Delta) as well as to compact Kahler manifolds X with pseudo-effective -KX under a suitable assumption on the singularities of c1(-KX). We further prove that, for a 3-dimensional log canonical pair (X,Δ) with X being klt, pi 1(X) is almost Abelian if -(KX+Δ) is nef. Moreover, as one of the main ingredients for the proof of these results, we establish the surjectivity of the Albanese maps of compact normal complex varieties X in Fujiki class C that admits an effective R-divisor Δsuch that the pair (X,Δ) is log canonical with nef anti-log canonical divisor -(KX+Δ).This generalizes the corresponding theorems for projective varieties (Zhang, 2005), for klt pairs (Matsumura-Wang-Wu-Zhang, 2025) and for log smooth case (Fu-Han-Zou, 2025)

nefな反対数標準因子をもつ特異コンパクトKähler多様体について、基本群がほとんど可換になる条件を与える。 lc対、三次元klt空間、Fujiki類におけるAlbanese写像を、Kähler RCD空間の理論と結びつける。

arXiv
2602.07420v1
初回投稿日
2026-02-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

滑らかなコンパクトKähler多様体$X$で$-K_X$がnefなら、Păunの結果により$\pi_1(X)$はほとんど可換である。本論文は、境界$\Delta$と穏やかな特異点を許し、$-(K_X+\Delta)$がnefな状況へこの現象を拡張する。

基礎空間がkltで対$(X,\Delta)$がlcの場合、特異Kähler空間が非崩壊RCD空間になるという明示された予想の下で、$\pi_1(X)$のほとんど可換性を証明する。その予想が既知となる滑らかな場合と複素三次元の場合には、結論は無条件である。

別の方向として、$-K_X$が擬有効で「asymptotically klt」である滑らかなコンパクトKähler多様体にも同じ基本群の結論を得る。さらにFujiki類$\mathcal C$の正規複素多様体について、Albanese写像の滑らかなモデルがfibrationになることを示す。

背景と問題設定

目標は、lc対$(X,\Delta)$とnefな$-(K_X+\Delta)$に対して$\pi_1(X)$がほとんど可換であるという予想である。弱FanoとCalabi–Yauという両極端では部分的理解があるが、一般のlc場合は構造定理が直接使えず難しい。

本論文は、Ricci曲率下限をもつ特異空間を扱うRCD理論を橋渡しにする。Kähler currentの計量完備化が元の空間と同相な非崩壊RCD空間になるというConjecture 1.4が、条件付き主定理の要である。

主結果

基本群のほとんど可換性（Theorem 1.1、Corollary 1.1）

$X$をコンパクトklt Kähler多様体、$\Delta$を有効$\mathbb R$-因子とし、$(X,\Delta)$がlc、$-(K_X+\Delta)$がnefとする。Conjecture 1.4の下で$\pi_1(X)$はほとんど可換である。さらに$X$が滑らか、または$\dim_{\mathbb C}X=3$なら、この結論は無条件に成立する。

擬有効反標準束（Theorem 1.2）

$X$がコンパクトKähler多様体で、$-K_X$が擬有効かつasymptotically kltなら、$\pi_1(X)$はほとんど可換である。この特異性条件の精密な定義はIntroductionの後に置かれているため、本記事では推測して補わない。

Albanese写像（Theorem 1.3）

$X$をFujiki類$\mathcal C$のコンパクト正規複素多様体とする。有効$\mathbb R$-因子$\Delta$があり、$(X,\Delta)$がlcで$-(K_X+\Delta)$がnefなら、$X$のAlbanese写像の任意の滑らかなモデルは、固有・全射で連結ファイバーをもつ。

証明の見取り図

Păunの方法を特異空間へ移す。Ricci曲率がほぼ非負なKähler currentを構成し、RCD版Margulis補題から基本群の局所像の仮想冪零性を得る。適切な計量球が全基本群を捉えることと、Albanese写像の全射性を組み合わせ、仮想冪零性をほとんど可換性へ強める。三次元等では必要なKähler RCD性が既知の理論から確認できる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv Abstract
  • Introduction: Section 1, pp. 1–6
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1–1.3; Corollary 1.1
  • 論文構成の説明: Section 1.3, p. 6
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction