代数幾何学 · 2026-11-13

The integral Chow rings of $\mathcal A_3$ and $\mathcal M_3$

種数3の曲線・アーベル多様体の整係数Chow環

Emma Bishop

emma-bishop-11wdmm chern-classes algebraic-cycles-enumerative moduli hodge-theory Moduli and families モジュライ・族 Hodge theory ホッジ理論 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Algebraic cycles and enumerative geometry 代数的サイクル・数え上げ幾何 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

Over $\mathbb C$, we compute the integral Chow ring of $\mathcal A_3$, the moduli stack of principally polarized abelian threefolds. Along the way, we compute the integral Chow ring of $\mathcal M_3$, the moduli stack of smooth genus-three curves. The ring $\operatorname{CH}(\mathcal A_3)$ is generated by the Chern classes of the Hodge bundle, along with three classes supported on the locus of decomposable abelian varieties, subject to 16 relations. The ring $\operatorname{CH}(\mathcal M_3)$ is generated by the Chern classes of the Hodge bundle, with five relations. In particular, we find that the top Chern class of the Hodge bundle, $λ_3$, has order 504 on $\mathcal A_3$ and 252 on $\mathcal M_3$. For $\mathcal A_3$, this removes the factor of 4 from the bound $252\mid\operatorname{ord}(λ_3)\mid 1008$ of Ekedahl and van der Geer.

日本語要約

この研究は、種数3の二つのモジュライスタックの交点理論を整数係数で記述する。アーベル多様体側ではHodge束のChern類に分解可能軌跡上の三つの類を加える必要がある一方、曲線側はHodge束のChern類だけで生成される。Torelli射による引き戻しも明示され、最高Chern類の位数について従来残っていた不確定性が解消される。

Over $\mathbb C$, we compute the integral Chow ring of $\mathcal A_3$, the moduli stack of principally polarized abelian threefolds. Along the way, we compute the integral Chow ring of $\mathcal M_3$, the moduli stack of smooth genus-three curves. The ring $\operatorname{CH}(\mathcal A_3)$ is generated by the Chern classes of the Hodge bundle, along with three classes supported on the locus of decomposable abelian varieties, subject to 16 relations. The ring $\operatorname{CH}(\mathcal M_3)$ is generated by the Chern classes of the Hodge bundle, with five relations. In particular, we find that the top Chern class of the Hodge bundle, $λ_3$, has order 504 on $\mathcal A_3$ and 252 on $\mathcal M_3$. For $\mathcal A_3$, this removes the factor of 4 from the bound $252\mid\operatorname{ord}(λ_3)\mid 1008$ of Ekedahl and van der Geer.

複素数体上の主偏極アーベル3次元多様体と滑らかな種数3曲線のモジュライスタックについて、整係数Chow環を決定する。Hodge束の最高Chern類の位数をそれぞれ504、252と求め、有理係数では消える捩れを明確にする。

arXiv
2611.06014v2
初回投稿日
2026-11-04
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

モジュライ空間上の代数的サイクルを整数係数で扱うと、有理係数化によって失われる有限位数の類が残る。本論文は、複素数体上の主偏極アーベル3次元多様体のスタック $\mathcal A_3$ と、滑らかな種数3曲線のスタック $\mathcal M_3$ のChow環を生成元と関係式で決定する。

両者の中心にあるのはHodge束のChern類である。ただし、アーベル多様体側では積に分解する軌跡の類も必要になる。曲線からJacobianを取るTorelli射を通じて、これらの追加の類を消す操作と、曲線側に現れる関係式を比較できる。

特に第3 Chern類の位数は $\mathcal A_3$ 上で504、$\mathcal M_3$ 上で252である。前者について既知だった $252\mid\operatorname{ord}(\lambda_3)\mid1008$ という範囲を正確な値に絞り込む点が、計算の具体的な到達点である。

背景と問題設定

$\mathbb C$ 上で働き、Hodge束 $E_3$ の類を $\lambda_i=c_i(E_3)$ とする。積写像 $p_{12}:\mathcal A_1\times\mathcal A_2\to\mathcal A_3$ と、楕円曲線三つの積の軌跡の包含 $p_{111}:\mathcal A_{1,1,1}\to\mathcal A_3$ に対して、 $$ \alpha_{12}=(p_{12})_\ast 1,\qquad \alpha_{12}^{(1)}=(p_{12})_\ast t,\qquad \alpha_{111}=(p_{111})_\ast 1 $$ と置く。$t$ は $\mathcal A_1$ のHodge束の第1 Chern類である。先行研究では低種数の場合や非超楕円曲線の開部分などが計算されていたが、整係数で全体を貼り合わせる際の捩れが障害となる。

主結果

アーベル3次元多様体のChow環（Theorem A）

六つの類で環が生成され、 $$ \operatorname{CH}(\mathcal A_3) =\mathbb Z[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\alpha_{12},\alpha_{12}^{(1)},\alpha_{111}]/I_{16} $$ となる。次数は順に $(1,2,3,2,3,3)$ であり、$I_{16}$ の16本の関係式は原論文Appendix Bに置かれている。Introductionに列挙されていないその全リストはここでは再構成しない。この表示から $\operatorname{ord}(\lambda_3)=504$ を得る。

曲線側の表示とTorelli射（Theorem B）

曲線側は三つのHodge類だけで生成される。具体的には $$ \operatorname{CH}(\mathcal M_3)=\mathbb Z[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]/I, $$ $$ \begin{aligned} I=(&252\lambda_1^2,\ 24\lambda_2-12\lambda_1^2,\ 8\lambda_1\lambda_2+80\lambda_1^3,\ &28\lambda_3+28\lambda_1^3,\ 2\lambda_1\lambda_3+2\lambda_1^2\lambda_2+4\lambda_1^4). \end{aligned} $$ Torelli射による引き戻しは全射であり、非分解可能部分を $\mathcal A_3^{\mathrm{ind}}$ とすると $$ \operatorname{CH}(\mathcal M_3) =\operatorname{CH}(\mathcal A_3)/(\alpha_{12},\alpha_{12}^{(1)},\alpha_{111},252\lambda_1^2) =\operatorname{CH}(\mathcal A_3^{\mathrm{ind}})/(252\lambda_1^2). $$ ここで $\lambda_3$ の位数は252となる。二つのスタックの差を、分解可能軌跡と追加の捩れ関係によって明示する結果である。

証明の見取り図

Introductionでは六段階の計算が説明される。平面4次曲線の空間を二重円錐曲線の軌跡の法錐へ変形し、超楕円部分と非超楕円部分を扱える補助スタックを作る。除去による関係式の不足を3が消し、別の制限が112によって消すため、互いに素であることから不足がないと結論する。

続いてroot gerbeとroot stackの公式を使い、非分解可能アーベル多様体と曲線のChow環を得る。分解可能軌跡では法束の最高Chern類が零因子となるため単純な貼り合わせだけでは足りない。各層、試験族、有理係数Chow環への同時制限の単射性を示すことで、最後の関係式を決定する。付属計算コードの実行や検証は本記事の対象外である。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorems A, B
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2611.06014v2
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction