On K-stability of Calabi-Yau fibrations

書誌情報

• arXiv: arXiv:2203.11460v2
• 著者: Masafumi Hattori
• 初回投稿日: 2022-03-22
• 最終更新日: 2023-08-09
• 主分類・副分類: math.AG（主分類）; math.DG
• ライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license

要約

ファイブレーションの全空間のK安定性を、底とファイバーの幾何から判定できれば、cscK計量の存在やモジュライの構成に具体的な手掛かりが得られる。本論文は、底から引き戻した偏極を支配的にする断熱的な状況を、Calabi–Yau型ファイブレーションで調べる。

底が曲線の場合、全空間の一様断熱的K安定性は、底に判別因子とmoduli因子を加えたlog-twisted K安定性と同値になる。単に底のtwisted安定性を見るだけでは捉えられない、特異ファイバーの寄与を判別因子が記録する。

全空間が滑らかで境界がない場合には、同じ条件からcscK計量の存在も得られる。特異ファイバーを許し、個々のファイバーがK不安定な例も含むため、全ファイバーにcscK計量を仮定する従来の枠組みとは異なる。

さらに有理楕円曲面へ適用し、指数とKodairaの特異ファイバー型から安定性や不安定性を判定する。主定理を支えるのは、安定性の底への降下、全空間での数値的十分条件、そして不変量の断熱極限という三つの結果である。

背景と問題設定

偏極付きファイブレーション $f:(X,\Delta,H)\to(C,L)$ で

$$ L_\varepsilon=\varepsilon H+f^\ast L,\qquad \varepsilon>0 $$

を考える。十分小さい全ての $\varepsilon$ に対して $(X,\Delta,L_\varepsilon)$ がK安定であることが断熱的K安定性であり、本論文はその一様版を導入する。

klt-trivialという条件は、対がkltで、対数標準因子が底に相対的に有理自明であることに対応する。標準束公式の底側には判別因子 $B$ とmoduli因子 $M$ が現れる。特異ファイバーをもつ場合に、この二つを区別して安定性へ取り込むことが重要になる。

主結果

底曲線による同値な判定（Theorem 1.1）

$C$ が滑らかな曲線で、$f$ が偏極付きklt-trivialファイブレーションなら

$$ (X,\Delta,H)\text{が }(C,L)\text{上で一様断熱的K安定} \ \Longleftrightarrow\ (C,B,M,L)\text{がlog-twisted K安定} $$

となる。さらに $\Delta=0$、$X$ が滑らかなら、右辺の条件の下で十分小さい有理数 $\varepsilon>0$ に対して $L_\varepsilon$ にcscK計量が存在する。任意の大きさの $\varepsilon$ に対する存在定理ではない。

高次元の底への必要条件（Theorem 1.2）

この定理では底 $C$ を曲線に限らない。偏極付きlc-trivialファイブレーションでmoduli因子 $M_C$ が $\mathbb Q$ Cartierなら、全空間の断熱的K半安定性は $(C,B_C,M_C,L)$ のlog-twisted K半安定性を導く。

さらに底がlog-twisted Fano対かつAmbro modelである場合、全空間の一様断熱的K安定性から底のK安定性を得る。滑らかな曲線はAmbro modelであるため、Theorem 1.1の一方向を支える。

一様K安定性の数値的十分条件（Theorem 1.3）

偏極付き $n$ 次元klt対 $(X,\Delta,L)$ に対し

$$ H=\delta_{(X,\Delta)}(L)L+K_X+\Delta $$

と置く。$H$ が豊富で、ある $\eta>0$ が存在し、任意の $p$ 次元部分多様体 $V$、$1\leq p\leq n-1$ に対して

$$ \left(n\frac{H\cdot L^{n-1}}{L^n}L-pH\right)\cdot L^{p-1}\cdot V \geq\eta(n-p)L^p\cdot V $$

なら、$(X,\Delta,L)$ は一様K安定となる。ここでは断熱パラメータとの混同を避け、原文の正定数を $\eta$ と書いた。J安定性の数値的判定とδ不変量によるエントロピー評価を組み合わせる条件である。

α・δ不変量の断熱極限（Theorem 1.4）

$(X,\Delta)$ がklt、$C$ が滑らかな曲線である偏極付き代数的ファイバー空間について、

$$ B=\sum_{p\in C}\left(1-\operatorname{lct}_{(X,\Delta)}(f^{-1}(p))\right)p $$

とする。このとき

$$ \lim_{\varepsilon\to0}\alpha_{(X,\Delta)}(\varepsilon H+f^\ast L)=\alpha_{(C,B)}(L) $$

および

$$ \lim_{\varepsilon\to0}\delta_{(X,\Delta)}(\varepsilon H+f^\ast L)=\delta_{(C,B)}(L) $$

が成り立つ。この極限定理自体は、klt-trivialという追加条件なしのファイブレーションを扱う。

有理楕円曲面への適用（Corollary 1.5）

滑らかな有理楕円曲面 $X$ の指数を $m$ とする。任意の豊富な $H$ について、次の条件では一様断熱的K安定性と、対応する断熱偏極のcscK計量の存在が得られる。

• $m=1$ でファイバーが全て被約。
• $m=2$ で型 $\mathrm{II}^\ast $、$\mathrm{III}^\ast $ のファイバーがない。
• $m=3$ で型 $\mathrm{II}^\ast $ のファイバーがない。
• $m\geq4$。

一方、$m=1$ で型 $\mathrm{II}^\ast $、$\mathrm{III}^\ast $、$\mathrm{IV}^\ast $ のいずれかがあれば断熱的K不安定となる。$m=2$ で型 $\mathrm{II}^\ast $ がある場合も同様である。IntroductionのMiranda予想に関する議論と、ここで証明する断熱的K安定性の判定は区別する必要がある。

証明の見取り図

底のテスト配置を全空間へ引き戻し、Donaldson–Futaki不変量を比較する。そのままではtwisted版の条件しか得られないため、極小モデル・プログラムと標準束公式を用いて判別因子の寄与を含むlog-twisted版へ精密化する。

逆向きには、偏極に相当する因子を水平部分と垂直部分に分け、その重複度を評価してα不変量の極限を求め、さらにδ不変量の極限へ移る。底がFano型の場合にはδの下界を全空間へ運び、J安定性から得た数値条件を適用する。

滑らかな場合には同様の評価からK-energyの強圧性を示し、既知の解析的存在定理によりcscK計量を得る。各特異ファイバーに個別の計量を構成する方法ではなく、底の安定性と全空間の変分評価を結ぶ方法である。

原論文との対応

• Abstractページ: 公式arXivページ
• Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–4
• Introduction中で言及された主要結果: Theorems 1.1–1.4; Corollary 1.5; Definition 1.1とConjecture 1.2は別項目
• 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
• 確認したarXivバージョン: 2203.11460v2
• 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
• source_scope: Abstract and Introduction