多変数複素解析 · 2026-11-03

Strongly Pseudoconvex Domains with Finite Dimensional $p$-Bergman Spaces

有限次元p-Bergman空間を持つ強擬凸領域

Shreedhar Bhat, Soumya Ganguly, Achinta Kumar Nandi

shreedhar-bhat-zswl4o soumya-ganguly-g6kpjm achinta-kumar-nandi-9v6evl stein-geometry pluripotential-theory Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Stein geometry and the Levi problem Stein幾何・Levi問題

arXiv Abstract

We show that for every $n\ge2$, $p>2$, and positive integer $m$, there exists a finite-volume pseudoconvex domain $D\subset\mathbb C^n$ with real-analytic strongly pseudoconvex boundary whose $p$-Bergman space $A^p(D)$ has dimension $m$. These domains admit smooth strictly plurisubharmonic exhaustions and satisfy $H^\infty(D)=\mathbb C$ and $\dim A^s(D)=\infty$ for every $0<s\le2$. Moreover, for every finite $s\ge p$, we have $\dim A^s(D)=\lceil pm/s\rceil$. As an application, we show that the Bergman projection fails to map $\mathcal{C}_c^\infty(D)$ into $A^p(D)$ and admits no bounded extension to $L^s(D)$ or $L^{s/(s-1)}(D)$ for any finite $s\ge p$.

日本語要約

任意の複素次元n≥2、指数p>2、正整数mに対し、p乗可積分な正則関数の空間がちょうどm次元となる有限体積擬凸領域を構成する。境界は至る所実解析的かつ強擬凸にでき、滑らかな強多重劣調和排気関数も存在する。一方、指数が2以下のBergman空間は無限次元であり、有界正則関数は定数だけである。高い指数側の次元公式とBergman射影の非有界性を得る。

We show that for every $n\ge2$, $p>2$, and positive integer $m$, there exists a finite-volume pseudoconvex domain $D\subset\mathbb C^n$ with real-analytic strongly pseudoconvex boundary whose $p$-Bergman space $A^p(D)$ has dimension $m$. These domains admit smooth strictly plurisubharmonic exhaustions and satisfy $H^\infty(D)=\mathbb C$ and $\dim A^s(D)=\infty$ for every $0<s\le2$. Moreover, for every finite $s\ge p$, we have $\dim A^s(D)=\lceil pm/s\rceil$. As an application, we show that the Bergman projection fails to map $\mathcal{C}_c^\infty(D)$ into $A^p(D)$ and admits no bounded extension to $L^s(D)$ or $L^{s/(s-1)}(D)$ for any finite $s\ge p$.

強擬凸で実解析的な境界を持つ領域でも、pが2より大きいとp-Bergman空間が任意の正の有限次元になりうることを示す。有限体積を保った構成により、指数ごとの次元とBergman射影の非有界性も記述する。

arXiv
2611.00501v1
初回投稿日
2026-10-31
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

有界領域では正則多項式がすべて可積分なので、p-Bergman空間は無限次元になる。非有界領域では無限遠での可積分性が強く制限され、有限次元の可能性が生じる。本論文は境界を強擬凸かつ実解析的に保って、その次元を指定する。

任意の $p>2$ と正整数 $m$ に対し、$\dim A^p=m$ となる有限体積領域を複素次元2以上で構成する。他方、同じ領域の $A^2$ は無限次元である。従って「強擬凸ならすべての指数で無限次元」という結論は成り立たない。

構成はさらに、指数を変えた際の次元を明示し、Bergman射影の $L^p$ 正則性が失われる例を与える。通常の有界強擬凸領域の直観に対し、非有界性と無限遠での関数の振る舞いが不可欠となる。

背景と問題設定

Euclid体積に関して

$$ A^p(D)=\lbrace f\in\mathcal O(D):\int_D|f|^p\thinspace dV_{2n}<\infty\rbrace $$

と定める。$p=2$ ではHilbert空間としてBergman核と直交射影を持つ。序論は、擬凸領域での零または無限次元という問題に関する先行研究と、指数が2を境に異なる振る舞いを持つことを背景に置く。

主結果

Hartogs領域での指定次元（Theorem 1.1）

$n\geq2$、$m\geq1$、$p>2$ に対し、滑らかな強多重劣調和排気関数を持つ有限体積擬凸Hartogs領域 $\Omega$ が存在し、底座標 $z$ について

$$ A^p(\Omega)=\operatorname{span}_{\mathbb C}\lbrace 1,z,\ldots,z^{m-1}\rbrace , \qquad H^\infty(\Omega)=\mathbb C $$

となる。$0<s\leq2$ では $\dim A^s(\Omega)=\infty$ であり、有限の $s\geq p$ では

$$ A^s(\Omega)=\operatorname{span}_{\mathbb C}\lbrace z^j:j\geq0,\ sj<pm\rbrace , \qquad\dim A^s(\Omega)=\left\lceil\frac{pm}{s}\right\rceil $$

が成り立つ。中間の $2<s<p$ にまでこの公式を延長して述べるものではない。

至る所強擬凸な実解析的境界（Theorem 1.2）

同じ $n,p,m$ に対し、境界が至る所実解析的かつ強擬凸で、$\dim A^p(D)=m$ となる有限体積擬凸領域 $D$ を得る。滑らかな強多重劣調和排気関数を持ち、$H^\infty(D)=\mathbb C$、$\dim A^s(D)=\infty$（$0<s\leq2$）も成り立つ。

第1座標 $u$ は零にならず、有限の $s\geq p$ では

$$ A^s(D)=\operatorname{span}_{\mathbb C}\lbrace u^{-j}:j\geq0,\ sj<pm\rbrace , \qquad\dim A^s(D)=\left\lceil\frac{pm}{s}\right\rceil $$

となる。

Bergman射影の非有界性

$A^2$ が無限次元で $A^p$ が有限次元なら、Bergman射影は $C_c^\infty$ 全体を $A^p$ へ写さない。構成した例では、有限のすべての $s\geq p$ について $L^s$ および $L^{s/(s-1)}$ 上への有界な延長が存在しないと序論は述べる。

証明の見取り図

Hartogsファイバー方向に正則関数を展開し、底上の重み付き可積分性へ帰着する。対数特異点を配置してファイバー変数を含む項を消し、無限遠の重みで残る底変数の多項式の次数を制限する。

次に有理shearに着想を得た正則座標変換で、境界の例外点を除く。Jacobianを定数に保つことで、重みなしのp乗可積分性と次元を保存する。対数特異点の構成には $p>2$ が必要であり、$p=2$ の有限次元例を与える議論ではない。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorems 1.1, 1.2; Bergman射影への応用
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2611.00501v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction