多変数複素解析 · 2026-10-15

Every Gromov elliptic domain is meromorphically pseudoconvex

Gromov楕円領域の有理型擬凸性とOka性との違い

Yuta Kusakabe

yuta-kusakabe-ti47i1 oka-theory stein-geometry pluripotential-theory Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Stein geometry and the Levi problem Stein幾何・Levi問題 Oka theory Oka理論

arXiv Abstract

We prove that every Gromov elliptic domain $\Omega$ in a complex manifold has the following property, which we call meromorphic pseudoconvexity: each boundary point has a neighborhood $V$ such that $\Omega\cap V$ becomes Stein after removing a set which is, locally in $\Omega\cap V$, the union of the polar sets of finitely many meromorphic functions on $\Omega\cap V$. Since meromorphic functions on Hartogs figures extend to their hulls, it follows that, for a domain $\Omega=\operatorname{int}\overline\Omega$ in a Stein manifold, Gromov ellipticity is equivalent to being Oka and Stein, and also to being Oka and admitting a complete K\"ahler metric. This complements a theorem of Matsumura and the author that every weakly pseudoconvex Oka manifold admitting a positive line bundle is elliptic. As applications, we show that the Oka manifolds $\mathbb C^n\setminus\overline{\mathbb B^n}$ and $\mathbb C^n\setminus\mathbb R^n$, $n\geq2$, are not elliptic, and that no proper domain with Lipschitz boundary in $\mathbb P^n$, $n\geq2$, is elliptic.

日本語要約

正則な支配的sprayをもつ領域について、局所的な極集合を除いた部分がSteinとなることを証明する。この有理型擬凸性は、Oka性だけからは従わないGromov楕円性の制約を表す。Stein多様体の中で閉包の内部と一致する領域では、楕円性、OkaかつSteinであること、Okaかつ完備Kähler計量をもつことが同値となる。これにより閉球や実部分空間の補集合が与えるOka非楕円例を扱う。

We prove that every Gromov elliptic domain $\Omega$ in a complex manifold has the following property, which we call meromorphic pseudoconvexity: each boundary point has a neighborhood $V$ such that $\Omega\cap V$ becomes Stein after removing a set which is, locally in $\Omega\cap V$, the union of the polar sets of finitely many meromorphic functions on $\Omega\cap V$. Since meromorphic functions on Hartogs figures extend to their hulls, it follows that, for a domain $\Omega=\operatorname{int}\overline\Omega$ in a Stein manifold, Gromov ellipticity is equivalent to being Oka and Stein, and also to being Oka and admitting a complete K\"ahler metric. This complements a theorem of Matsumura and the author that every weakly pseudoconvex Oka manifold admitting a positive line bundle is elliptic. As applications, we show that the Oka manifolds $\mathbb C^n\setminus\overline{\mathbb B^n}$ and $\mathbb C^n\setminus\mathbb R^n$, $n\geq2$, are not elliptic, and that no proper domain with Lipschitz boundary in $\mathbb P^n$, $n\geq2$, is elliptic.

Gromov楕円な領域は、有理型関数の極集合を除けば境界近くでSteinとなるという有理型擬凸性を示す。Stein多様体内で閉包の内部と一致する領域では、楕円性はOka性とStein性の両立に同値となる。閉球の補集合など、Okaであっても楕円ではない領域をこの結果から得る。

arXiv
2610.20574v1
初回投稿日
2026-10-14
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

Gromov楕円性は、正則ベクトル束上のsprayが各点の接空間を支配するという条件であり、Oka性を導く。逆向きは一般には成り立たない。本論文は、領域の境界から楕円性を制限する条件を取り出し、両者の違いを明確にする。

主定理は、楕円領域が有理型擬凸であることを述べる。これは普通の擬凸性そのものではなく、有理型関数の極からなる例外集合を局所的に除くとSteinになるという性質である。例外集合を許すことは、点を除いた複素空間のような楕円領域を扱うために必要となる。

Stein多様体内で領域が閉包の内部に一致するなら、この例外を伴う条件からStein性を導ける。その結果、楕円性はOka性とStein性の組合せに一致する。閉球の補集合や実部分空間の補集合について、Okaでありながら楕円でないことが従う。

背景と問題設定

Gromov楕円性を与えるのは、正則ベクトル束$E\to Y$上の写像$s:E\to Y$で、$s(0_y)=y$かつ$ds_{0_y}(E_y)=T_yY$となる支配的sprayである。Oka性が正則写像の柔軟性を表す一方、この一つの束とsprayによる支配は追加の幾何学的制約をもつ。

Definition 1.1では、領域$\Omega\subset Y$の各境界点の近傍$V$で、

$$ (\Omega\cap V)\setminus P\text{がStein} $$

となり、$P$が局所的に$\Omega\cap V$上の有限個の有理型関数の極集合の合併であるとき、有理型擬凸と呼ぶ。極集合には不定点も含める。これは有理型関数による凸包を扱う「有理型凸性」とは別の概念である。

主結果

楕円性が与える有理型擬凸性（Theorem 1.2）

複素多様体内のすべてのGromov楕円領域は有理型擬凸である。$P$は純余次元1の閉解析部分集合であり、空集合も許す。$P$を空にできる場合には普通の擬凸性に戻るが、一般には極集合が必要となる。たとえば$\mathbb C^2\setminus{0}$は楕円であり、$1/z_1$の極集合を除けば擬凸になる。

Stein領域での同値（Corollary 1.3）

Stein多様体$Y$内の領域$\Omega$が

$$ \Omega=\operatorname{int}\overline\Omega $$

を満たすとする。このとき次の三条件は同値である。

  • $\Omega$はGromov楕円である。
  • $\Omega$はOkaかつSteinである。
  • $\Omega$はOkaであり、完備Kähler計量をもつ。

閉包の内部に一致する仮定はLipschitz境界をもつ領域で成立するが、一般には省けない。$\mathbb C^2\setminus{0}$がその反例となる。また、Stein多様体内の任意の楕円領域が完備Kähler計量をもつかどうかはProblem 1.4として残される。

Oka非楕円例と射影空間内の障害（Corollary 1.5）

$n\ge2$とする。非空コンパクト集合$K\subset\mathbb C^n$が

$$ K=\overline{\operatorname{int}K} $$

を満たし、補集合が連結なら、$\mathbb C^n\setminus K$はGromov楕円ではない。特に閉単位球の補集合$\mathbb C^n\setminus\overline{\mathbb B^n}$はOkaだが楕円ではない。

同じく$\mathbb C^n\setminus\mathbb R^n$もOka非楕円である。また、Lipschitz境界をもつ射影空間の真の領域$\Omega\subsetneq\mathbb P^n$はGromov楕円にはならない。これらは単にsprayの構成法が未発見という主張ではなく、楕円性そのものへの障害である。

証明の見取り図

Introductionはsprayの微分の局所的な正則右逆を使い、写像を

$$ s(\sigma_y\xi)=y+\xi+\sum_{|\alpha|\ge2}A_\alpha(y)\xi^\alpha $$

と展開する。係数の成長から多重劣調和関数を作り、境界までの距離を指数関数的に制御する。右逆は一意でも大域的でもないため、Taylor係数へのアフィン条件によって有限個を選ぶことが重要となる。

選んだ係数の対称式は有理型となり、対応する多重劣調和関数の最大値を、その極集合の外へ延長する。これが有理型擬凸性を与える。その後はLeviの有理型延長定理とHartogs図形を用い、閉包の内部に一致する条件などから各系を導くという方針である。

原論文との対応

  • Abstractページ: Every Gromov elliptic domain is meromorphically pseudoconvex
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–3（Section 2の開始前まで）
  • Introduction中で言及された主要結果: Definition 1.1, Theorem 1.2, Corollaries 1.3 and 1.5; Problem 1.4は未解決
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2610.20574v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction