代数幾何学 · 2026-10-01
Normal Bundle Splitting Strata of Rational Curves in Toric Varieties
トーリック多様体内の有理曲線の法束分裂型stratum Hikari Iwasaki hikari-iwasaki-ubw3hs vector-bundles-sheaves toric-geometry algebraic-cycles-enumerative Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Algebraic cycles and enumerative geometry 代数的サイクル・数え上げ幾何 Toric geometry トーリック幾何arXiv Abstract
We study stratification by normal-bundle splitting type in families of unramified rational curves of fixed class in a smooth projective toric variety over an algebraically closed field {of arbitrary characteristic}. Using the Cox construction, we construct an explicit two-term resolution of the relative normal bundle by direct sums of line bundles on the universal curve over the fixed-source parameter space. Then we construct morphisms of vector bundles on the parameter space, which we call relative cohomology morphisms, from which we can investigate generic splitting type and jumping loci of the family. In particular, we obtain sufficient numerical criteria for unbalancedness of the normal bundle. We apply this method to blowups of projective space along linear subspaces, and show that the numerical criteria for unbalancedness are equivalent to those of Cela--Lian \cite{CelaLian2026}. We also obtain explicit formulas for the expected Chow classes of the jump loci.
日本語要約
滑らかな射影トーリック多様体内の非分岐有理曲線族を法束の分裂型で層別化する。Cox構成から相対法束の明示的2項分解と相対コホモロジー射を作り、genericな分裂型、jumping locus、不均衡性の数値的十分条件を導く。
We study stratification by normal-bundle splitting type in families of unramified rational curves of fixed class in a smooth projective toric variety over an algebraically closed field {of arbitrary characteristic}. Using the Cox construction, we construct an explicit two-term resolution of the relative normal bundle by direct sums of line bundles on the universal curve over the fixed-source parameter space. Then we construct morphisms of vector bundles on the parameter space, which we call relative cohomology morphisms, from which we can investigate generic splitting type and jumping loci of the family. In particular, we obtain sufficient numerical criteria for unbalancedness of the normal bundle. We apply this method to blowups of projective space along linear subspaces, and show that the numerical criteria for unbalancedness are equivalent to those of Cela--Lian \cite{CelaLian2026}. We also obtain explicit formulas for the expected Chow classes of the jump loci.
滑らかな射影トーリック多様体内の非分岐有理曲線族を法束の分裂型で層別化する。Cox構成から相対法束の明示的2項分解と相対コホモロジー射を作り、genericな分裂型、jumping locus、不均衡性の数値的十分条件を導く。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.39309
- 著者: Hikari Iwasaki
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年09月30日
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
有理曲線$f:\mathbb P^1\to X$の法束は直線束の直和に分裂し、その次数列は曲線の変形挙動を測る。本論文は固定曲線classの非分岐有理曲線族について、分裂型のgeneric valueとjumping locusをトーリック座標から調べる。
Cox構成を用いて普遍曲線上の相対法束に明示的な2項resolutionを与え、parameter space上のvector bundle morphismへ変換する。この射のrank条件から不均衡性とjumping locusの期待Chow classを計算する。
背景と問題設定
$N_f\simeq\bigoplus_i\mathcal O_{\mathbb P^1}(a_i)$の整数列$(a_i)$は族の中で跳び得る。一般のトーリック多様体でこの跳びを計算可能にする統一的装置が求められる。
主結果
相対法束の2項resolution（Theorem 1.1 / Theorem 3.1）
滑らかな射影トーリック多様体$X$と固定classの写像のfixed-source parameter spaceを考える。普遍曲線上の相対法束は、Cox dataから定まる直線束の直和による明示的な2項resolutionをもつ。
不均衡性の数値条件（Theorem 1.3）
IntroductionのSection 4の記号で、$c\ge2$と部分空間$W\subseteq V$が所定の次数不等式を満たすならgenericな法束はunbalancedである。この条件は射影空間を線形部分空間に沿ってblow upした例でCela–Lianの条件と一致する。
jumping locus
相対コホモロジー射の退化 locusとしてjumping stratumを表し、期待余次元の場合にはPorteous型公式からChow classを明示する。
証明の見取り図
toric Euler sequenceを曲線族へ引き戻し、普遍的微分を組み込んで相対法束のresolutionを作る。各twistの相対コホモロジーをとった射のrankが、分裂型の部分和を検出する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.39309
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.3
- 論文構成の説明: Introduction末尾
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction