複素微分幾何学 · 2026-10-01
Non-Hermitian Yang--Mills Connections with Vanishing Chern Classes
Chern類が消える非Hermitian Yang–Mills接続 Guangzhen Ren guangzhen-ren-1u4f6d3 hermite-einstein-metrics vector-bundles-sheaves stability chern-classes Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein Chern class Chern classes Chern number Chern numbersarXiv Abstract
We construct non-flat non-Hermitian Yang--Mills connections with zero Einstein constant on smoothly trivial rank-two bundles over compact Kähler surfaces, with positive harmonic metrics and stable induced and adjoint holomorphic bundles. Thus vanishing Chern classes do not force flatness even under stability on both sides. The local model comes from a known complex anti-self-dual ansatz; the stable descents yield explicit global moduli phenomena. For a fixed stable bundle, the Kaledin--Verbitsky map contracts a complex line containing flat and non-flat points in the connected component of the Hermitian--Einstein connection. Contraction also occurs in the two-sided stable locus. The pair of holomorphic projections has a fibre containing both flat and non-flat points. An energy identity and a spectral-gap estimate quantify local flatness with the induced holomorphic structure fixed.
日本語要約
コンパクトKähler曲面上の滑らかに自明な階数2束に、Chern類が消えながら非平坦な非Hermitian Yang–Mills接続を構成する。誘導される正則束と随伴束はいずれも安定であり、Chern類消滅と両側の安定性だけでは平坦性が従わないことを示す。
We construct non-flat non-Hermitian Yang--Mills connections with zero Einstein constant on smoothly trivial rank-two bundles over compact Kähler surfaces, with positive harmonic metrics and stable induced and adjoint holomorphic bundles. Thus vanishing Chern classes do not force flatness even under stability on both sides. The local model comes from a known complex anti-self-dual ansatz; the stable descents yield explicit global moduli phenomena. For a fixed stable bundle, the Kaledin--Verbitsky map contracts a complex line containing flat and non-flat points in the connected component of the Hermitian--Einstein connection. Contraction also occurs in the two-sided stable locus. The pair of holomorphic projections has a fibre containing both flat and non-flat points. An energy identity and a spectral-gap estimate quantify local flatness with the induced holomorphic structure fixed.
コンパクトKähler曲面上の滑らかに自明な階数2束に、Chern類が消えながら非平坦な非Hermitian Yang–Mills接続を構成する。誘導される正則束と随伴束はいずれも安定であり、Chern類消滅と両側の安定性だけでは平坦性が従わないことを示す。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.39961
- 著者: Guangzhen Ren
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年09月30日
- 主分類・副分類: math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Chern類が消え、安定な正則束に対応するYang–Mills接続は平坦であると期待したくなる。本論文はHermitian性を外すとこの含意が破れることを、コンパクトKähler曲面上の明示的な族で示す。
構成される接続は零Einstein定数をもつ非Hermitian Yang–Mills接続であり、非平坦かつ既約である。それでも接続から得る正則束と随伴正則束はいずれも安定で、滑らかな束のChern類は消える。
背景と問題設定
Donaldson–Uhlenbeck–Yau対応ではHermitian–Einstein接続と安定束が結ばれ、Chern–Weil理論がChern類消滅と曲率を強く制約する。ここでは計量を保たない複素接続へ範囲を広げたとき、どの剛性が残るかを問う。
主結果
非平坦NHYM接続の構成（Theorem A）
Introductionで定める実パラメータ$t\ne0$の接続は、滑らかに自明な階数2束上で非平坦・既約であり、Einstein定数0のNHYM方程式を満たす。正のharmonic metricをもち、誘導正則束および随伴正則束は安定である。
安定束上の非平坦点（Theorem B）
$t\notin(\pi/2)\mathbb Z$では得られる正則束$E_t^Z$が安定となる。固定された安定束に対するKaledin–Verbitsky mapは、平坦点と非平坦点を同時に含む複素直線を一点へ縮約する。
証明の見取り図
既知のcomplex anti-self-dual ansatzを局所模型とし、商への安定な降下によって大域例を作る。energy identityとspectral-gap estimateは、誘導正則構造を固定したときの局所的平坦性を定量化する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.39961
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems A–D
- 論文構成の説明: Introduction末尾
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction