代数幾何学 · 2026-09-29

Full termination of MMP for klt pairs with big boundaries

big境界をもつklt対に対するMMPの完全停止

Kenta Hashizume

kenta-hashizume-mi9xmi minimal-model-program birational-geometry singularities Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Minimal model program 極小モデル・プログラム

arXiv Abstract

We prove the full termination of the minimal model program for klt pairs with big boundaries.

日本語要約

bigな境界をもつklt対について、極小モデル・プログラムが完全に停止することを証明する。

We prove the full termination of the minimal model program for klt pairs with big boundaries.

$K_X+\Delta$ または境界 $\Delta$ がbigである射影klt対について、任意のMMPが有限回で停止することを証明する。極端射線関数の有限性、Mori fiber spaceの基底に対する次元帰納、逆向きMMPの一様制御を組み合わせ、高次元でMMP with scalingを越える完全停止を得る。

arXiv
2609.33679v1
初回投稿日
2026-09-27
原論文のライセンス
Creative Commons Attribution 4.0 International
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

  • arXiv: arXiv:2609.33679
  • 著者: Kenta Hashizume
  • 初回投稿日・最終更新日: 2026年9月27日
  • 主分類: math.AG
  • ライセンス: CC BY 4.0

要約

MMPの停止は双有理幾何の中心的未解決問題である。一般型やbig境界の場合にはMMP with scalingの停止が知られていたが、任意に選んだ負の極端射線を縮約するMMPの完全停止は高次元で残っていた。

本論文は、$K_X+\Delta$ または $\Delta$ がbigである射影klt対について、無限に続くMMPが存在しないことを証明する。さらに、$\Delta$ がbigで $K_X+\Delta$ がpseudo-effectiveでない場合、固定した対から得られるmarked Mori fiber spaceが有限個しかないことを示す。

背景と問題設定

既知の一様Cartier指数評価と極端射線の長さの有界性を、固定した出発対から生じるすべてのMMPへ同時に適用する。minimal log discrepancyに関する予想は使わない一方、対象となる対について極小モデルまたはMori fiber spaceが存在することを本質的に用いる。

主結果

完全停止（Theorem 1.1）

$(X,\Delta)$ を射影klt対とし、$K_X+\Delta$ または $\Delta$ がbigであるとする。このとき $(K_X+\Delta)$-MMPのstepからなる無限列は存在しない。次元制限はなく、任意のMMPを対象とする。

Marked Mori fiber spaceの有限性（Theorem 1.2）

$(X,\Delta)$ が射影的、$\mathbb Q$-factorialかつkltで、$\Delta$ がbig、$K_X+\Delta$ がpseudo-effectiveでないとする。この固定した対からMMPを走らせて得られるmarked Mori fiber spaceは、markingと両立する同型を除いて有限個である。

証明の見取り図

一様Cartier指数と極端射線の長さをShokurov polytopeの議論へ入れ、現れ得る極端射線関数と縮約され得る素因子を有限個に抑える。Mori fiber spaceの基底を一様なklt条件をもつ低次元の小双有理モデルとして整理し、次元帰納で終端モデルを有限化する。逆MMP stepにも有限性を確立し、終端モデルまでのstep数を一様に抑えることで完全停止へ戻る。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.33679
  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1 and 1.2
  • 論文構成の説明: Section 1.3, p. 3
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: CC BY 4.0
  • source_scope: Abstract and Introduction