代数幾何学 · 2026-09-24
Rigid and obstructed tangent bundles on Calabi--Yau threefolds
Calabi–Yau三次元多様体上の剛体接束と障害を持つ接束 Xueyuan Wan xueyuan-wan-1k22phu calabi-yau-geometry vector-bundles-sheaves stability Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何arXiv Abstract
We address two questions of Huybrechts concerning rigidity and singular deformation spaces of tangent bundles on Calabi--Yau threefolds, without assuming simple connectedness. Our first example is a free $(\mathbb Z/2)^3$ quotient of a smooth intersection of four quadrics in $\mathbb P^7$. Its tangent bundle is stable and infinitesimally rigid, and it also provides a three-dimensional counterexample to the proposed classification in Peternell's Question~1.6. For a classical Igusa quotient of a product of three elliptic curves, we determine the analytic semiuniversal deformation germ of its polystable tangent bundle, keeping the underlying threefold fixed. This germ is isomorphic to the product of two copies of the union of the three coordinate axes in $\mathbb C^3$. It is therefore reduced and singular, with nine two-dimensional irreducible components.
日本語要約
Calabi–Yau三次元多様体の接束変形に関する二つの対照的な例を構成する。4二次曲面の完全交叉の有限自由商では接束が任意のample偏極に関して安定かつ剛体となる。三楕円曲線積のIgusa型商では接束が多安定となり、その固定基底半普遍変形germを方程式で完全に記述する。
We address two questions of Huybrechts concerning rigidity and singular deformation spaces of tangent bundles on Calabi--Yau threefolds, without assuming simple connectedness. Our first example is a free $(\mathbb Z/2)^3$ quotient of a smooth intersection of four quadrics in $\mathbb P^7$. Its tangent bundle is stable and infinitesimally rigid, and it also provides a three-dimensional counterexample to the proposed classification in Peternell's Question~1.6. For a classical Igusa quotient of a product of three elliptic curves, we determine the analytic semiuniversal deformation germ of its polystable tangent bundle, keeping the underlying threefold fixed. This germ is isomorphic to the product of two copies of the union of the three coordinate axes in $\mathbb C^3$. It is therefore reduced and singular, with nine two-dimensional irreducible components.
単連結性を仮定しないCalabi–Yau三次元多様体上で、安定かつ無限小剛体な接束の例と、半普遍変形空間が被約だが特異な多安定接束の例を構成する。前者はPeternellの提案した分類への三次元反例となり、後者の変形germは6変数内の九つの座標平面の和として明示される。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.27271
- 著者: Xueyuan Wan
- 初回投稿日: 2026-09-23
- 最終更新日: 2026-09-23
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
単連結性を仮定しないCalabi–Yau三次元多様体上で、安定かつ無限小剛体な接束の例と、半普遍変形空間が被約だが特異な多安定接束の例を構成する。前者はPeternellの提案した分類への三次元反例となり、後者の変形germは6変数内の九つの座標平面の和として明示される。
Calabi–Yau三次元多様体の接束変形に関する二つの対照的な例を構成する。4二次曲面の完全交叉の有限自由商では接束が任意のample偏極に関して安定かつ剛体となる。三楕円曲線積のIgusa型商では接束が多安定となり、その固定基底半普遍変形germを方程式で完全に記述する。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
本論文は、Calabi–Yau三次元多様体の接束変形に関する二つの対照的な例を構成する。Introductionは先行研究の到達点と、今回解決される問題または新たに構成される対象を区別している。
主結果
剛体な安定接束（Theorem 1.2）
$\mathbb P^7$ 内の4二次曲面の滑らかな交叉の自由 $(\mathbb Z/2)^3$ 商 $X$ を構成し、$T_X$ が任意のample偏極に関して安定かつ $H^1(X,\operatorname{End}T_X)=0$ であることを示す。
障害を持つ変形（Theorem 1.5）
三楕円曲線積の自由 $(\mathbb Z/2)^2$ 商 $Z$ では、$T_Z$ の半普遍変形germが $V(ab,bc,ca,de,ef,fd)\subset\mathbb C^6$ に同型で、九つの2次元既約成分を持つ。
証明の見取り図
完全交叉側の $H^1(\operatorname{End}T)$ を有限群表現として計算し、不変部分の消滅から商の剛性を得る。Igusa商では不変な定数行列値微分形式の積を計算し、Kuranishi写像が厳密に二次であることから変形germを決定する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.27271
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.2, Theorem 1.5
- 確認したarXivバージョン: 2609.27271v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction