代数幾何学 · 2026-09-23
An analytic construction of the universal moduli space of $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs bundles
$\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束の普遍モジュライ空間の解析的構成 Shiyu Cao shiyu-cao-1nk0fq moduli stability higgs-nonabelian-hodge Moduli and families モジュライ・族 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Higgs bundles and nonabelian Hodge theory ヒッグス束・非可換ホッジ理論arXiv Abstract
We construct the moduli space of marked polystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs bundles via analytic methods. The resulting space is normal and Hausdorff, and its local models are products of a Teichmüller neighbourhood with a quotient of a quadratic cone. These models preserve the curve parameter and identify the stabilizers. We prove agreement with the complex and unitary gauge-quotient topologies and establish the coarse moduli property for semistable families over reduced analytic bases. The mapping class group and Higgs scaling act holomorphically. Besides, on the stable locus, the moduli spaces that we consider agree with the joint moduli constructed by Collier, Toulisse and Wentworth.
日本語要約
Teichmüller空間上で曲線とpolystable Higgs束を同時に変形する普遍モジュライ問題を解析的ゲージ理論から構成する。得られる空間は正規かつHausdorffで、局所的にはTeichmüller近傍と二次錐の安定化群による商の積として記述される。complex gauge商およびunitary gauge商の位相との一致を示し、reduced解析空間上のsemistable族に対するcoarse moduli性を証明する。mapping class群とHiggs場のscale作用も正則となる。
We construct the moduli space of marked polystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs bundles via analytic methods. The resulting space is normal and Hausdorff, and its local models are products of a Teichmüller neighbourhood with a quotient of a quadratic cone. These models preserve the curve parameter and identify the stabilizers. We prove agreement with the complex and unitary gauge-quotient topologies and establish the coarse moduli property for semistable families over reduced analytic bases. The mapping class group and Higgs scaling act holomorphically. Besides, on the stable locus, the moduli spaces that we consider agree with the joint moduli constructed by Collier, Toulisse and Wentworth.
曲線の複素構造も動かすmarked polystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束の普遍モジュライ空間を解析的に構成する。空間の正規性・Hausdorff性、局所二次錐商モデル、reduced解析基底上のcoarse moduli性を確立する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.25807
- 著者: Shiyu Cao
- 初回投稿日: 2026-09-22
- 最終更新日: 2026-09-22
- 主分類・副分類: math.AG, math.CV, math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
曲線の複素構造も動かすmarked polystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束の普遍モジュライ空間を解析的に構成する。空間の正規性・Hausdorff性、局所二次錐商モデル、reduced解析基底上のcoarse moduli性を確立する。
Teichmüller空間上で曲線とpolystable Higgs束を同時に変形する普遍モジュライ問題を解析的ゲージ理論から構成する。得られる空間は正規かつHausdorffで、局所的にはTeichmüller近傍と二次錐の安定化群による商の積として記述される。complex gauge商およびunitary gauge商の位相との一致を示し、reduced解析空間上のsemistable族に対するcoarse moduli性を証明する。mapping class群とHiggs場のscale作用も正則となる。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
Teichmüller空間上で曲線とpolystable Higgs束を同時に変形する普遍モジュライ問題を解析的ゲージ理論から構成する。Introductionは従来結果の到達点と、本論文が解く未解決部分を区別して位置付ける。
主結果
普遍モジュライ空間
Introductionでは主結果が一連の構成定理として述べられている。marked polystable $\mathrm{SL}_r(\mathbb C)$-Higgs束の空間は正規Hausdorff複素空間となり、各点の局所モデルはTeichmüller近傍と二次錐のreductive安定化群による商の積である。
Moduli性と作用
この解析的空間はcomplex gauge商・unitary gauge商の位相と一致し、reduced解析基底上のsemistable族についてcoarse moduli性を持つ。mapping class群の作用と $\mathbb C^*$ によるHiggs scalingは正則で、stable locusでは既存のjoint moduli構成と一致する。
証明の見取り図
Kuranishi型sliceで曲線方向を保つ二次変形モデルを作り、解析的GIT商として局所空間を貼り合わせる。ゲージ理論の収束・分離性を用いてHausdorff性と各商位相の一致を示し、族の局所分類写像からcoarse moduli性を得る。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.25807
- Introduction: Section 1, pp. 1–6
- Introduction中で言及された主要定理番号: Introductionの主構成定理群
- 確認したarXivバージョン: 2609.25807v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction